"justify"> Припустимо, що переговори закінчуються через три ходи, на кожному з яких відповідна сторона має можливість вибору з двох альтернатив, і опишемо відповідну позиційну гру.
- й хід робить сторона А. Вона вибирає одне з двох можливих пропозицій - число.
- й хід робить сторона B. Вона вибирає число, знаючи число.
- й хід робить сторона А. Вона вибирає число знаючи.
Після цього сторона А або одержує винагороду, або виплачує штраф стороні В.
Всі ці можливості описуються функцією виграшів, яка задана наступним чином
Рис. 4
На малюнку 4 зображено дерево даної гри.
Опишемо стратегії гравців.
Т.к. гравцеві В відомий вибір гравця А на 1-му ході, то у гравця У ті ж чотири стратегії, що і в попередньому прикладі:
де означає, що якщо на першому ході гравець А вибрав, то гравець В на своєму ході повинен вибрати число, а якщо гравець А на першому ході вибрав, то гравець В повинен вибрати, тобто при будь-якому виборі і т. д.
У гравця А восьмій можливих стратегій. Його чистий стратегія в даній грі описується трійкою
Тут - альтернатива, яку гравець А вибирає на 1-му ході, - альтернатива, яку гравець А вибирає на 3-му ході, якщо на другому ході гравець В вибрав і - альтернатива, яку гравець А вибирає на 3-му ході, якщо на другому ході гравець В вибрав.
Опишемо стратегії гравця А:
Далі покажемо, як в залежності від застосовуваних стратегій визначаються елементи матриці гри.
Нехай, наприклад, гравець А вибрав стратегію, а гравець В - стратегію. Це означає, що на першому ході гравець А вибрав, отже, гравець В на 2-му ході вибрав а на 3-му ході гравець А вибрав. Отже,. Тоді. Решта виграші розраховуються аналогічно.
Тепер можемо скласти матрицю гри:
Внаслідок того, що розглянута позиційна гра є грою з повною інформацією, отримана матриця має сідлову точку при будь-якої функції виграшів.
4. Позиційні антагоністичні гри з неповною інформацією
. 1 Поняття позиційної гри з неповною інформацією
Визначимо модель багатокрокової гри, в процесі якої гравці можуть не мати повної інформації про зроблені виборах.
Нехай дана гра.
Нехай - безліч всіх відрізків партій виду (виду). Припустимо, що безліч розбито на непересічні підмножини. Перед вибором першому гравцеві відомо, що. Аналогічно, нехай безліч розбитена непересічні підмножини. Перед вибором другому гравцеві відомо, що. Якщо, зокрема,,, а безлічі і містять по одному елементу і відповідно, то отримаємо гру з повною інформацією.
. 2 Нормалізація позиційної гри з неповною інформацією
Стратегія першого гравця задається набором функцій від, що приймають значення. Стратегія другого гравця задається набором функцій від, що приймають значення. За визначенням, де партія гри однозначно задається стратегіями гравців і. Отже, визначена гра в нормальній формі.
4.3 Приклади
Приклад 5. Розглянемо позиційну гру з неповною інформацією.
- й хід робить гравець А: він вибирає число.
- й хід робить гравець B: він вибирає число, не знаючи про вибір гравця А на першому ході.
- й хід робить гравець А: він вибирає число не знаючи ні значення.
Функція виграшу гравця А:
Графічне представлення цієї гри показано на малюнку 5.
Рис. 5
Нормалізуємо цю гру.
Стратегії гравця А:
У гравця В всього дві стратегії:
У цьому випадку матриця гри буде мати вигляд:
Оптимальні змішані стратегії гравців і ціна гри відповідно рівні
5. Необхідні відомості про біматричних іграх
. 1 Поняття біматричних ігри
Введемо поняття біматричних гри.
Нехай - безліч стратегій першого і другого гравців відповідно. При виборі першим гравцем стратегії, а другим, виникає ситуація. Виграш першого гравця в цій ситуації -, другої -.
Дану гру можна повністю описати, якщо задати дві матр...
