иці:
Визначення 1. біматричних грою називається сукупність, де,.
. 2 Принцип максимина і принцип рівноваги. Оптимальність за Парето
Позначимо
Визначення 2. Числа називаються Максимін цінами першого і другого гравців;- Максимін стратегії першого і другого гравців, - максімінннная ціна гри.
Визначення 3. Вибір гравцями стратегій називається принципом максимина.
Визначення 4. Ситуація називається ситуацією рівноваги (рівновагою Неша) в біматричних грі, якщо
Визначення 5. Вектор, де називається рівноважною ціною біматричних ігри, відповідної ситуації.
Визначення 6. Стратегія, що входить у яку або ситуацію рівноваги, називається рівноважної стратегією першого гравця.
Визначення 7. Стратегія, що входить у яку або ситуацію рівноваги, називається рівноважної стратегією другого гравця.
Визначення 8. Спосіб вибору гравцями в якості своїх стратегій, що утворюють ситуацію рівноваги, називається принципом рівноваги.
Теорема 1.
1) - Максиміна ціна біматричних гри.
2) - рівноважна ціна біматричних ігри, відповідна ситуації рівноваги.
.
З визначення 4 випливає, що для знаходження ситуації рівноваги і рівноважної ціни гри можна застосувати наступний спосіб:
) У кожному стовпці матриці виділити найбільший елемент.
) У кожному рядку матриці виділити найбільший елемент.
) Загальні виділені елементи будуть утворювати ситуації рівноваги.
Визначення 9. Пара стратегій і відповідний результат гри є оптимальними за Парето, якщо не існує іншого результату (пари стратегій) гри, який збільшив би виграш одного з гравців, при цьому не зменшивши виграш іншого.
6. Позиційна неантагоністичний гра. Її властивості
Розглянемо інший метод для вирішення позиційних ігор. Він заснований на понятті досконалості по подіграм.
Визначення 1. Подігрой який-небудь позиційної гри (з фіксованою початковою позицією) називається всяка гра, що ведеться за тими ж правилами, що і первісна, але починається не обов'язково з початкової, але з будь-якої проміжної позиції первісної гри, яка може бути досягнута з заданою початковою позиції.
Визначення 2. Рівновага Неша в позиційній грі називається досконалим по подіграм, якщо воно залишається рівновагою Неша при його обмеженні на кожну подігру.
Приклад 6. Сімейний суперечка .
У статичному варіанті гри сімейна суперечка чоловік і дружина вирішували, як провести вільний вечір. Вони хотіли б провести його разом, але чоловік хотів би піти на футбол, а дружина - в театр на балет.
Стратегії чоловіка:
Стратегії дружини аналогічні.
Задані матриці виграшів чоловіка і дружини відповідно:
Розглянемо динамічний варіант цієї гри.
Припустимо, що гравці не роблять ходів одночасно, але чоловік робить перший вибір, а дружина приймає рішення, знаючи вибір чоловіка. Дерево такої гри має вигляд:
Рис. 6
Логіка зворотного індукції веде до наступного рішення. Чоловік може збагнути, що якщо він вибере футбол, то його дружина теж вибере футбол (тому такий вибір забезпечить їй найкращу виплату 2), що остаточно приведе їх до платежів. З іншого боку, якщо чоловік вибере балет, то його дружина також вибере балет, що призведе до платежів. З погляду чоловіка, краще, ніж, і, отже, на своєму першому ході йому розумно вибрати футбол.
Уявімо цю гру в нормальній формі.
Стратегії чоловіка:
Стратегії дружини:
Перша буква в стратегіях дружини означає реакцію на вибір чоловіком ф (футбол), а друга означає реакцію на вибір чоловіком б (балет).
Отримуємо матриці виграшів чоловіка і дружини:
В даній грі трьох рівноваги Неша:
Відповідні рівноважні ціни:
Відзначимо, що тільки одне рівновага є вчиненим з подіграм, а саме, що і вийшло з зворотної індукції.
Приклад 7. Мудрість царя Соломона .
Всім відома біблійна історія про те, ...
