ign="justify"> r , де r-ранг тензора. = 0; N = 1 - скаляр (маса, температура, час) - ця величина повністю визначається значенням одного числа
r = 1; N = 3 - вектор (швидкість, сила, переміщення) - ця величина визначається трьома числами і має напрямок у просторі.
r = 2; N = 9 - тензор другого рангу (напруга на майданчику, деформація по напрямку) - ця величина визначається дев'ятьма числами і є вектором на майданчику будь-якої орієнтації. Якщо орієнтація майданчики змінюється, то змінюється і вектор. Аналогічно і деформації, які залежать від напрямку. p align="justify"> r = 3; N = 27 - тензор третього рангу (електро-магнітні поля в анізотропних середовищах).
Напружений стан в точці.
При розтягуванні і стисненні стрижня ми бачили, що напруга на майданчику, що проходить через задану точку, залежать від орієнтації майданчика.
В
З поворотом майданчика (зміна кута ?), змінюються напруги. Сукупність напруг, що виникають на безлічі майданчиків, що проходять через розглянуту точку, називається напруженим станом в точці.
Для його характеристики розглянемо дуже маленький елементарний кубик біля цієї точки. Напруги на його гранях будуть характеризувати напружений стан в точці при стягуванні кубика в точку. br/>В
Повна напруга на кожній грані кубика можна розкласти на 3 складові або компоненти: ? і 2 ?. Для индексикации цих компонент використовують правило:
. Нормальні напруги ? індексуються віссю, уздовж якої вони направлені
. У дотичних напруженнях ставляться два індексу: перший позначає вісь перпендикулярні майданчику, другий-вісь, вздовж якої спрямовано напругу. p align="justify">. Нормальні напруги ?> 0 - для розтягування, ? <0 - для стиснення.
. Дотичні напруження позитивні, якщо перпендикуляр до майданчика співпадає з напрямком осі, а напрямок ? збігається з відповідною віссю і навпаки.
. Для дотичних напружень дотримується закон парності. На двох взаємно перпендикулярних майданчиках ? перпендикулярні до загального ребру рівні і спрямовані або обидві до ребра, або від ребра
В
. При написанні формул для компонент тензора використовується правило нарощування індексів із заміною: x? Y? Z? X
Сукупність напруг на гранях кубика можна записати у вигляді таблиці або матриці:
Ці 9 напруг і утворюють тензор напруг. За законом парності ? xy = ? yx; ? yz = ? zy . Внаслідок закону парності виходить 6 незалежних компонент напружень (а не 9!). Горизонтальні рядки в тензор показують напругу уздовж однієї осі для всіх майданчиків. Вертикальні колонки показують всі компоненти на одному майданчику.
Отже, тензор напружень можна записати у вигляді матриці:
Компоненти тензора в загальному вигляді записуються p ij , де i та j приймають по черзі значення x, y, z . При i = jp ij =? i , при i? jp ij =? ij . Володіння тензора напруги, тобто напруги на гранях елементарного кубика, дозволить знаходити напруги на будь-якому майданчику з одиничним вектором . Повна напруга на цьому майданчику = ? p ? В· .
Компонен...
