удь-які різні точки цього інтервалу. Через точки А (х 1 , f (х 1 )) і В (х 2 , f (х 2 )) графіка функції f (х) проведемо пряму, відрізок АВ якої називається
хордою. Рівняння цій прямій запишемо у вигляді у = у (х). p> Функція f (х) називається
опуклою вниз на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х 1 , х 2 ГЋ (a, b), а ВЈ х 1 <х 2 ВЈ b, хорда АВ лежить не нижче графіка цієї функції, тобто якщо f (х) ВЈ у (х), Е“ х ГЋ [х 1 , х 2 ] ГЊ (a, b):
В
Зауважимо, що опуклу униз функцію іноді називають увігнутою функцією. Аналогічно визначається опуклість функції вгору.
Функція f (х) називається опуклою вгору на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х 1 , х 2 ГЋ (a, b), а ВЈ х 1 <х 2 ВЈ b, хорда АВ лежить не вище графіка цієї функції, тобто якщо f (х) Ві у (х), Е“ х ГЋ [х 1 , х 2 ] ГЊ (a, b):
В
Теорема 3 (достатня умова опуклості). Якщо f (х) - двічі безперервно дифференцируема на інтервалі (a, b) і
1) f'' (х)> 0, Е“ х ГЋ (a, b), те на (a, b) функція f (х) опукла вниз;
2) f'' (х) <0, Е“ х ГЋ (a, b), то на (a, b) функція f (х) опукла вгору.
Точка х 0 називається точкою перегину функції f (х), якщо $ d - окрест-ність точки х 0 , що для всіх х ГЋ (х 0 - d, х 0 ) графік функції знаходиться з одного боку дотичній, а для всіх х ГЋ (х 0 , х 0 + d) - з іншого боку каса-тельной, проведеної до графіка функції f (х) в точці х 0 , то є точка х 0 - точка перегину функції f (х), якщо при переході через точку х 0 функція f (х) змінює характер опуклості:
В
х 0 - d х 0 х 0 + D
Теорема 4 (необхідна умова існування точки перегину). Якщо функція f (х) має безперервну в точці х 0 похідну f'' і х 0 - точка перегину, то f'' (х 0 ) = 0.
Доказ.
Якби f'' (х 0 ) <0 або f'' (х 0 )> 0, то по теоремі 3 в точці х 0 функція f (х) була б опукла вгору або вниз. Отже, f'' (х 0 ) = 0. p> Теорема доведена.
Теорема 5 (достатня умова перегину). Якщо функція f (х) двічі безперервно дифференцируема в околиці точки х 0 і при переході через точку х 0 похідна f'' (х) змінює знак, то точка х 0 є точкою перегину функції f (х).
В
Приклад 4. Досліджувати на опуклість і знайти точки перегину функції у = х 3 .
Рішення. у '= 3х 2 , у'' = 6х = 0 Гћ х 0 = 0 - точка, підозріла на перегин. p> У точці х 0 = 0 функція у = х 3 має перегин
х
(- ВҐ; 0)
0
(0; + ВҐ)
у''
-
0
+
у
опукла вгору
0
опукла вниз
точка перегину
Приклад 5. Досліджувати на опуклість і знайти точки перегину функції.
Рішення. У прикладі 3 ми вже знаходили другу похідну даної функції. Бо те точок підозрілих на перегин немає. Розглянемо проміжки опуклості:
х
(- ВҐ, 0)
0
(0; + ВҐ)
у''
-
-
+
у
опукла вгору
-
опукла вниз
функція не визначена
2. 3 Асимптоти графіка функції
асимптотами будемо називати пряму, до якої графік функції необмежено близьке наближається. Розрізняють вертикальні і похилі асимптоти.
Пряма х = х 0 називається вертикальної асимптотой графіка функції f (х), якщо хоча б один з меж f (х 0 - 0) або f (х 0 + 0) дорівнює нескінченності. p> Приклад 6. Знайти вертикальні асимптоти функцій:
а) б) в)
Рішення. Вертикальними асимптотами функцій будуть прямі х = х 0 , де х 0 - точки, ...
