уважимо, що рівність нулю похідної
в точці не є достатнім для існування локального екстремуму в цій точці.
В
Приклад 1. у = х 3 , у '= 3х 2 , у '(0) = 0, але
в точці х 0 = 0 немає екстремуму.
Точками, підозрілими на екстремум функції f (x) на інтервалі (a, b), є точки, в яких похідна існує і дорівнює 0 або вона не існує або дорівнює нескінченності. На малюнках функції мають мінімум в точці х 0 = 0
В
f '(0) = 0 f' (0) $ f '(0) = ВҐ
Розглянемо достатні умови існування в точці локального екстремуму, які дозволять відповісти на запитання: В«Чи є в точці екстремум і який саме - мінімум чи максимум?В».
Теорема 1 (перше достатня умова екстремуму). Нехай неперервна функція f (x) диференційовна в деякій проколеної околиці U (x 0 ) точки х 0 (проколота околиця означає, що сама точка х 0 викидається з округа) і неперервна в точці х 0 . Тоді:
1) якщо (1)
то в точці х 0 - Локальний максимум;
2) якщо (2)
то в точці х 0 - Локальний мінімум. p> Доказ.
З нерівностей (1) і слідства 3 теореми Лагранжа (про монотонності функції) випливає, що при х <х 0 функція не убуває, а при х> х 0 функція не збільшується, тобто
(3)
Отже, з (3) отримуємо, що в точці х 0 функція має локальний максимум.
Аналогічно можна розглянути нерівності (2) для локального мінімуму:
В
f (x) f (x)
f '(х) Ві 0 f' (х) ВЈ 0 f '(х) ВЈ 0 f' (х) Ві 0
Теорема доведена.
Приклад 2. Досліджувати на монотонність і локальний екстремум функцію з допомогою похідної першого порядку.
Рішення. Знайдемо стаціонарні крапки функції:
В
Гћ х 2 -1 = 0 Гћ х 1 = -1, х 2 = 1. br/>
Зауважимо, що дана функція не визначена в точці х = 0. Отже:
х
(- ВҐ; -1)
-1
(-1; 0)
0
(0; 1)
1
(1; + ВҐ)
у '
+
0
-
-
-
0
+
у
В
-2
В
-
В
2
В
max min
Тобто функція зростає на інтервалах (- ВҐ; -1) і (1; + ВҐ), убуває на інтервалах (-1; 0), (0; 1), має локальний максимум в точці
х 1 = -1, рівний у max (-1) = -2; має локальний мінімум в точці х 2 = 1,
у min (1) = 2.
Теорема 2 (друге достатня умова екстремуму). Нехай функція f (x) двічі неперервно-диференційовна. Якщо х 0 - стаціонарна точка
(f '(х 0 ) = 0), в якій f'' (х 0 )> 0, то в точці х 0 функція має локальний мінімум. Якщо ж f'' (х 0 ) <0, то в точці х 0 функція має локальний максимум.
Доказ. Нехай для визначеності f'' (х 0 )> 0. Тоді
В
Отже:
при х <х 0 , f '(х) <0,
при х> х 0 , f '(х)> 0.
Тому за теоремою 1 в точці х 0 функція має локальний мінімум. p> Теорема доведена.
Приклад 3. Дослідити на екстремум функцію за допомогою другої похідної.
Рішення. У прикладі 2 для даної функції ми знайшли першу похідну і стаціонарні точки х 1 = -1, Х 2 = 1. p> Знайдемо другу похідну даної функції:
В
Знайдемо значення другий похідної в стаціонарних крапках.
Гћ в точці х 1 = -1 функція має локальний максимум;
Гћ в точці х 2 = 1 функція має локальний мінімум (по теоремі 2).
Зауважимо, що теорема 1 більш універсальна. Теорема 2 дозволяє проаналізувати на екстремум лише точки, в яких перша похідна дорівнює нулю, в той час як теорема 1 розглядає три випадки: рівність похідної нулю, похідна не існує, дорівнює нескінченності в підозрілих на екстремум точках.
2.2 Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точка перегину
Нехай функція f (х) задана на інтервалі (a, b) і х 1 , х 2 - б...
