в яких функції не визначена.
а) х = 3 - вертикальна асимптота функції. Дійсно,;
б) х = 2, х = - 4 - Вертикальні асимптоти функції. Дійсно,
,
;
в) х = 0 - вертикальна асимптота функції Дійсно,.
Пряма у = kx + b називається похилій асимптотой графіка безперервної функції f (х) при х В® + ВҐ або х В® - ВҐ, якщо f (х) = kx + b + О± (х),, тобто якщо похила асимптота для графіка функції f (х) існує, то різницю ординат функції f (х) і прямої у = kx + b в точці х прагне до 0 при х В® + ВҐ або при х В® - ВҐ.
Теорема 6. Для того щоб пряма у = kx + b була похилій асимптотой графіку функції f (х) при х В® + ВҐ або х В® - ВҐ, необхідно і достатньо існування кінцевих меж:
(4)
Отже, якщо хоча б один з даних меж не існує або дорівнює нескінченності, то функції не має похилих асимптот.
Приклад 7. Знайти похилі асимптоти функції
Рішення. Знайдемо межі (4):
В
Отже, k = +1.
В
Отже, b = 0.
Таким чином, функція має похилу асимптоту
у = kx + b = +1 В· х + 0 = х.
Відповідь: у = х - похила асимптота.
Приклад 8. Знайти асимптоти функції.
Рішення.
а) функція невизначена в точках х 1 = -1, х 2 = 1. Отже, прямі х 1 = -1, Х 2 = 1 - вертикальні асимптоти даної функції. p> Дійсно,.
;
б) у = kx + b.
В В
Отже, у = 2х + 1 - Похила асимптота даної функції. p> Відповідь: х 1 = -1, х 2 = 1 - вертикальні, у = 2х + 1 - похила асімп-
тоти.
2.4 Загальна схема побудови графіка функції
1. Знаходимо область визначення функції.
2. Досліджуємо функцію на періодичність, парність або непарність.
3. Досліджуємо функцію на монотонність і екстремум.
4. Знаходимо проміжки опуклості і точки перегину.
5. Знаходимо асимптоти графіка функції.
6. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.
7. Будуємо графік. p> Перш ніж перейти до прикладам, нагадаємо визначення парності і непарності функції.
Функція у = f (х) називається парною , якщо для будь-якого значення х, взятого з області визначення функції, значення (-Х) також принад-лежить області визначення і виконується рівність f (х) = f (-х). Графік парною функції симетричний щодо осі ординат .
Функція у = f (х) називається непарної для будь-якого значення х, взятого з області визначення функції, значення (-х) також належить об-ласті визначення, і виконується рівність f (-х) =-f (х). Графік НЕ-парною функції симетричний відносно початку координат .
Приклад 9. Побудувати графік.
Рішення. Ми використовуємо дані, отримані для цієї функції в інших прикладах.
1. D (у) = (- ВҐ; 0) Г€ (0; + ВҐ). p> 2. Отже, функція непарна. Її графік буде симетричний відносно початку координат.
3. (Див. приклад 2). Досліджуємо функцію на монотонність і екстремум:
х
(- ВҐ; -1)
-1
(-1; 0)
0
(0; 1)
1
(1; + ВҐ)
у '
+
0
-
-
-
0
+
у
В
-2
В
-
В
2
В
max min
4. (Див. приклад 5). Досліджуємо функцію на опуклість і знайдемо точки перегину. br/>
х
(- ВҐ; 0)
0
(0; + ВҐ)
у''
-
-
+
у
опукла вгору
-
опукла вниз
функція не визначена
Незважаючи на те, що функція поміняла характер опуклості при переході через точку х = 0, але в ній немає перегину, тому що в цій точці функція не визначена.
5. (Див. приклади 6 і 7). Знайдемо асимптоти функції:
а) х = 0 - вертикальна асимптота;
б) у = х - похила асимптота.
6. Точок перетину з осями координат у даної функції нем...
