індри з загальною висотою ? X ( рис. 7.2.2 ). Менший циліндр має своєю підставою коло площею S (x), а більший - коло площею S (x + ? X). Якщо ? V - приріст об'єму тіла обертання, то S (x) ? x
В
Оскільки функція f (x) неперервна, то неперервна і функція
В
отже,
В
Переходячи до межі в подвійному нерівності, маємо
В
тобто V '(x) = S (x). p align="justify"> Об'єм V (x) є первісною для функції S (x) на проміжку [a; b]. Звідси маємо
В
Теорема
Об'єм кулі дорівнює де R - радіус кулі.
Доказ
В
Рис. 9
На рис. 9 зображена чверть кола радіуса R з центром в точці (R; 0). Рівняння кола цього кола звідки Функція безперервна, зростаюче, неотрицательная, отже, для знаходження об'єму тіла обертання можна використовувати попередню теорему. Внаслідок обертання чверті кола навколо осі Ox утворюється полушар. Отже,
В
звідки
Зауважимо, що формула для об'єму кулі випливає з формули для об'єму кульового сегмента <# "justify"> Обсяг еліпсоїда, що задається рівнянням визначається формулою
В
Рис. 10
Обчислення площі поверхні тіл обертання
Нехай дана поверхня, утворена обертанням кривої y = f (x) навколо осі Ох.
В
Визначимо площа цієї поверхні на ділянці а? х? b. Функцію f (x) припустимо безупинної і має безперервну похідну у всіх точках відрізка [a; b]. Проведемо хорди АМ1, М1М2, .... Мn-1B довжини яких позначимо через ? S1,? S2 ...? Sn (рис. 1). Кожна хорда довжини ? Si (i = 1,2, .... n) при обертанні опише усічений конус, поверхню якого ? Pi дорівнює:
Застосовуючи теорему Лагранжа отримаємо:
, де Отже
Поверхня, описана ламаної, дорівнюватиме сумі поширеною на всі ланки ламаної.
, або сумі
, (1)
Межа цієї суми, коли найбільший ланка ламаної ? Si прагне до нуля, називається площею, розглянутої поверхні обертання. Сума (1) не є інтегральною сумою для функції
(2),
так як в доданку, відповідному відрізку [xi-1, xi], фігурує кілька точок цього відрізка xi-1, xi, ? i .. Але можна довести, що межа суми (1) дорівнює межі інтегральної суми для функції (2), тобто
В
(3)
Формула (3) визначає площу Р поверхні теля обертання виникає в результаті обертання навколо осі x кривої, заданої на відрізку а? x? b неотрицательной, безперервно диференціюється функцією f (x).
Якщо обертається крива задана параметрично: x = ? (t), y =? (t) (t0 ? t? t1) то формула (3) має вигляд,
(3 /)
Приклад: Завдання. Обчислити об'єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:
В
В
Рис. 11
Рішення. При зведенні потрійного інтеграла до трикратного і в розстановці меж у кожному з трьох визначених інтегралів діємо за аналогією з випадком подвійного інтеграла. Область інтегрування V у прикладі вважаємо правильною в напрямі осі OZ, тому що будь-яка пряма, паралельна осі OZ, перетинає межу області не більше ніж у двох точках. Враховуючи, що обсяг області V виражається в декартових координатах формулою
В
а область V обмежена знизу площиною z = 0, а зверху - поверхнею параболоїда обертання z = 4 - (x2 + y2) м...
