площиною перпендикулярній осі ОХ
. Розглянемо деякий тіло Т (рис. 4), яке проектується на вісь ох у відрізок [a, b]. Нехай відома площа будь-якого перетину цього тіла площиною, перпендикулярної осі ох. Величина площі є функцією від х: s = s (х). p align="justify"> визначений інтеграл координата перетин
В
Рис. 4
Припустимо, що s (х) - неперервна функція, і приступимо до обчислення обсягу даного тіла. Розіб'ємо тіло на шари площинами x = xi, перпендикулярними осі ох, і кожен шар замінимо циліндром (не обов'язково круговим), висота якого , і підстава , де - довільна точка на [xi-1, xi]. Обсяг отриманого ступеневої тіла
.
Межа цієї суми при і дорівнює обсягу даного тіла .
Так як s (х) - неперервна функція на [a, b], то межа даної інтегральної суми існує і виражається певним інтегралом
. (22)
В
Рис. 5
. Нехай тепер тіло утворено обертанням навколо осі ох криволінійної трапеції АаВb, обмеженої кривою у = f (х), віссю ох і прямими х = а, х = b (див. рис. 19). У цьому випадку довільне перетин тіла площиною, перпендикулярної осі ох, є коло, площа якого (радіус кола дорівнює ординате точки).
Підставляючи значення s (х) у формулу (22), отримаємо:
. (23)
Зауваження. Якщо тіло утворено обертанням кривої навколо осі оу, c і використовувати формулу .
Поняття інтеграла може бути використано для доказу формул обсягів тел: похилій призми, піраміди, конуса кулі та ін На малюнку зображено тіло, обсяг якого необхідно обчислити. Припустимо, що дане тіло укладено між паралельними площинами х = а і х = b. Введено систему координат так, щоб вісь абсцис була перпендикулярна цим площинам. Позначимо через S (х) площа перерізу тіла площиною, перпендикулярної осі абсцис і перетинає її в точці х, функція S (х) неперервна на відрізку [а, b]. br/>В
Рис. 6
Розділимо відрізок [а; b] на n рівних відрізків точками і через точки поділу проведемо площини, перпендикулярні осі OХ. Ці площини розрізають задане тіло на n шарів. На малюнку тангірно виділений один з таких шарів. Тоді . Якщо перетин тіла є коло, то обсяг заштрихованого шару дорівнює наближено обсягом прямого кругового циліндра з площею основи S (х) і висотою ? X. Якщо перетин тіла - багатокутник, то обсяг шару дорівнює наближено обсягом відповідної прямої призми. Обсяг даного тіла наближено дорівнює сумі обсягів циліндрів або призм з підставами і висотою ? X.
Точність цього наближеної рівності тим вище, чим більше n, тобто тонше шари. Приймемо без суворого обгрунтування, що обсяг даного тіла дорівнює межі обсягу Сума є інтегральною сумою для неперервної на відрізку [a; b] функції S (x) , отже,
Обчислення об'ємів тіл обертання
Вкажемо загальний спосіб обчислення об'ємів тіл обертання. Зокрема, обчислимо об'єм кулі та її частин. br/>В
Рис. 7
Нехай криволінійна трапеція, тобто фігура, обмежена віссю Ox, прямими x = a, x = b і графіком безперервної зростаючою неотрицательной функції y = f (x), обертається навколо осі Ox (рис. 4) , внаслідок чого утворюється тіло обертання. Перетин цього тіла площиною, перпендикулярної осі Ox, є коло або крапка. На проміжку (a; b) виберемо точку x. Перетин, проведене через цю точку перпендикулярно осі Ox, є коло площею S (x) = ? F 2 (x). Об'єм частини тіла обертання, обмеженою перетинами, проведеними через точки a і x, позначимо через V (x), а обсяг даного тіла обертання - через V.
Теорема. Об'єм тіла обертання дорівнює
В
Доказ
В
Рис. 8
Надамо x прирощення ? x> 0 (x +? x Побудуємо два цил...
