, Оѕ 2 - u 2 ) лежить в області j; отже, зважаючи симетрії області j точка (u 1 - Оѕ 1 , u 2 - Оѕ 2 ) знаходиться в j. Нарешті, в силу опуклості тіла j середина відрізка, що з'єднує точку (u 1 - Оѕ 1 , u 2 - Оѕ 2 ) з точкою (Оћ 1 , Оѕ 2 ), тобто точка (u 1 /2, u 2 /2) , лежить в j, а тому точка (u 1 , u 2 ) знаходиться в Г‚. Що, власне, й потрібно було довести. Ясно, що область j (u 1 , u 2 ) тоді і тільки тоді перетинається з областю j (u 1 ', u 2 '), коли область j перетинається з областю j (u 1 - u 1 ', u 2 - u 2 ') .
Таким чином, щоб теорема Маньківського була доведена, досить показати, що якщо області j (u 1 , u 2 ) не перетинаються, то площа області j (u 1 , u 2 ) не перевищує 1. Невелике роздум переконує, що так має бути. Інше обгрунтування, можливо інтуїтивно більш ясне, можна отримати, вважаючи, що область j цілком міститься в квадраті
x 1 ≤ X, | x 2 | ≤ X,
при цьому потрібно враховувати те, що опукла область кінцевої площі обмежена.
Нехай U - досить велике ціле число. Існує (2U + 1) 2 областей j (u 1 , u 2 ), координати центрів яких задовольняють нерівностям
u 1 ≤ U, | u 2 | ≤ U.
Всі ці області цілком перебувають в квадраті
x 1 ≤ U + X, | x 2 | ≤ U + X,
площа якого дорівнює
4 (U + X) 2 .
Так як передбачається, що області j (u 1 , u 2 ) НЕ перетинаються, то має місце нерівність
(2U + 1) 2 V ВЈ 4 (U + X) 2 ,
де V - площа області j, а значить, і будь-якій області j (u 1 , u 2 ). Спрямовуючи тепер U до нескінченності, ми отримуємо нерівність V ВЈ 1, що й потрібно було довести. br/>
Грати.
Перетворення координат у наведеному прикладі з певною бінарної квадратичною формою може призвести і до іншої точки зору. Ми можемо уявити форму f (x 1 , x 2 ) як суму квадратів двох лінійних форм
f (x 1 , x 2 ) = Х 1 2 + Х 2 2 , (3)
де
Х 1 = ax 1 + bx 2 , X 2 = gx 1 + dx 2 , (4)
a, b, g, d - деякі постійні речові числа. Можна, наприклад, покласти
a = a 11 <...
