/sub> 1/2 , b = a 11 -1/2 a 12 ,
g = 0, d = a 11 -1/2 D 1/2 .
Зворотно, якщо a, b, g, d - такі речові числа, що ab - gd В№ 0, і форми Х 1 , Х 2 задані рівностями (4), то вираз
Х 1 2 + Х 2 2 = a 11 x < sub> 1 2 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 ,
де
a 11 = a 2 + g 2 ,
a 12 = ad + bg, (5)
a 22 = b 2 + d 2 ,
є позитивно певної квадратичної формою з визначником
D = a 11 a 22 - a 12 2 = (Ad - bg) 2 . (6)
Тепер будемо розглядати пару (Х 1 , Х 2 ) як систему прямокутних декартових координат. Тоді кажуть, що точки (Х 1 , Х 2 ) , відповідні цілим (x 1 , x 2 ) у виразах (4), утворюють (двовимірну) решітку L. У векторних позначеннях решітка L є сукупність точок
(Х 1 , Х 2 ) = U 1 (a, g) + u 2 (b, d), (7)
де u 1 , u 2 пробігають всі цілі числа; точки (вектори) (a, g) і (b, d) утворюють базис решітки L.
Розглянемо тепер більш детально властивості решіток. З огляду на те, що ми розглядаємо решітку L просто як безліч точок, ми можемо її описати за допомогою різних базисів. Наприклад, пара
(О± - ОІ, Оі - Оґ), (- ОІ, - Оґ)
є іншим базисом решітки L. Фіксований базис (О±, ОІ), (Оі, Оґ) решітки L визначає розбиття площині двома сімействами рівновіддалених паралельних прямих; перша родина складається з тих точок (Х 1 , Х 2 ), які мають координати виду (7), де u 2 - будь-яке ціле число, а u 1 - будь-яке дійсне. Для ліній другого порядку сімейства u 1 і u 2 міняються ролями. Таким чином, площину розбивається на паралелограми, вершинами яких є як раз точки решітки L.
Зрозуміло, що це розбиття залежить від вибору базису. Однак, можна показати, що площа одержуваних паралелограмів, саме число
| О±Оґ - ОІОі |,
не залежить від вибору базису. Це стає можливим, якщо показати, що число N (X) точок решітки в досить великому квадраті
О¶ (Х): | Х 1 | ≤ Х, | Х 2 | ≤ Х
задовольняє співвідношенню
N (X)/4X 2 в†’ 1/| О±Оґ - ОІОі | (X в†’ в€ћ).
Дійсно, розгляд ідей доведення теореми Мінковського, яке було приведено в стислому вигляді вище, показує, що число точок решітки L в квадраті О¶ (Х), грубо кажучи, дорівнює числу паралелограмів, знаходяться в цьому квадраті. А це число, в свою че...
