сно нулю.
Теорема Мінковського.
Аналогічний, але, щоправда, не настільки точний результат негайно випливає з основної теореми Мінковського. У двовимірному випадку ця теорема стверджує, що область Г‚ завжди містить точку (u 1 , u 2 ) з цілими координатами, відмінну від початку, якщо ця область задовольняє наступним трьом умовам:
1) область Г‚ симетрична щодо початку координат; тобто якщо точка (x 1 , x 2 ) знаходиться в Г‚, то точка (-x 1 , - x 2 ) також міститься в Г‚;
2) область Г‚ опукла; тобто якщо (x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 ) - дві які-небудь точки області Г‚, то і весь відрізок
{lx 1 + (1-l) y 1 , lx 2 + (1-l) y 2 }, 0 ВЈ l ВЈ 1,
з'єднує ці точки, також міститься в Г‚;
3) площа Г‚ більше 4.
Будь еліпс f (x 1 , x 2 ) ВЈ k задовольняє умовам 1) і 2). Так як його площа дорівнює
kp/(a ​​ 11 a 22 - a 12 ) 1/2 = Kp/D 1/2 ,
то він задовольняє умові 3), якщо kp> 4D 1/2 . Таким чином, ми маємо результат, аналогічний наведеному вище пропозицією, якщо в (2) константу (4/3) 1/2 замінити будь-яким числом, великим 4/p.
Доказ теореми Мінковського.
Цікаво буде коротко розглянути основні ідеї, що лежать в основі доведення теореми Мінковського, тому що у формальних доказах, наведених основними джерелами, вони губляться за необхідністю отримання сильних теорем, що мають найбільш широкі додатки. <В
Замість області Г‚ Мінковський розглядає область j = Г‚/2, яка складається з точок (x 1 /2, x 2 /2), де (x 1 , x 2 ) - точки області Г‚. Таким чином, область j симетрична відносно початку координат і опукла, її площа дорівнює чверті площі області Г‚ і, отже, більше 1. У загальному випадку Мінковський розглядає сукупність областей j (u 1 , u 2 ) з центрами в цілочислових точках (u 1 , u 2 ), отриманих з тіла j паралельними переносами.
Для початку справедливо відзначити, що якщо j і j (u 1 , u 2 ) перетинаються, то точка (u 1 , u 2 ) знаходиться в Г‚. Зворотне твердження тривіально. Якщо точка (u 1 , u 2 ) знаходиться в Г‚, то точка (u 1 /2, u 2 /2) міститься як в j, так і в j (u 1 , u 2 ). Дійсно, нехай (Оѕ 1 , Оѕ 2 ) - Точка, що лежить в перетині. Оскільки точка (Оѕ 1 , Оѕ 2 ) лежить в області j (u 1 , u 2 ), то тоді точка (Оѕ 1 - u 1 ...
