ховий простір, I - тотожний оператор в Е, а А - такий обмежений лінійний оператор, що відображає Е в себе, що норма. Тоді оператор існує, обмежений і представляється у вигляді
.
Резольвента лінійного оператора p> Визначення та приклади резольвенти оператора p> Розглянемо оператор А, який діє у (Комплексному) лінійному топологічному просторі Е, і рівняння
Ах =
Розв'язки цього рівняння залежать від виду оператора. Є три можливості:
рівняння Ах = має ненульове рішення, тобто є власне значення для А; оператор при цьому не існує;
існує обмежений оператор, тобто є регулярна точка;
оператор існує, тобто рівняння Ах = має лише нульовий рішення, але цей оператор не обмежений.
Введемо наступну термінологію. Оператор називається резольвенти оператора А. Число ми назвемо регулярним для оператора А, чинного в лінійному топологічному просторі Е, якщо оператор визначений на всьому Е і безперервний, безліч таких будемо називати резольвентних безліччю і позначати. Сукупність всіх інших значень називається спектром оператора А, будемо позначати. Спектру належать всі власні значення оператора А, так як якщо х = 0 при деякому, то не існує. Їх сукупність називається точковим спектром. Інша частина спектра, тобто сукупність тих, для яких існує, але не безперервний, називається безперервним спектром. Отже, кожне значення є для оператора А або регулярним, або власним значенням, або точкою безперервного спектру. Можливість наявності у оператора безперервного спектру - істотна відмінність теорії операторів в безконечномірному просторі від конечномерного випадку.
У скінченновимірному ж випадку мається лише дві перші можливості. Причому, називається власним значенням оператора, якщо дане рівняння має ненульовий рішення. Сукупність усіх власних значень утворюють спектр оператора, а всі інші значення називаються - регулярними. Інакше, кажучи, є регулярна точка, якщо оператор звернемо.
Розглянемо наскільки прикладів резольвент операторів.
Приклад 1: Візьмемо оператор, переводить конечномерное простір у конечномерное, як було сказано вище, його можна задати матрицею коефіцієнтів:
, тоді
За допомогою нехитрих перетворень знаходимо зворотну матрицю, тим самим резольвенту цього оператора:
,
тут добре видно, що оператор, заданий цією матрицею не існує при = 1, тобто це власне значення оператора А.
Приклад 2: Розглянемо лінійний оператор, що відображає простір неперервних функцій на відрізку [a, b] на себе. Нехай це буде оператор множення на функцію g (x). Тоді резольвента цього оператора запишеться в наступному вигляді:, такий оператор безперервний, якщо функція g (x) не приймає значення на відрізку [a, b], в іншому випадку буде власним значенням. Тобто спектр цього оператора складається з значень функції g (x) на відрізку [a, b]. Причому цей оператор має лише безперервний спектр, так як резольвента при існує, ал...
