оренів полінома.
Нехай дано поліном. Покажемо, що його коріння змінюються безперервно при зміні коефіцієнтів. Нехай - корінь кратності для полінома і нехай-поліном, отриманий з малим зміною його коефіцієнтів. Оточимо корінь як завгодно малої окружністю, причому настільки малою, щоб в обмеженому нею колі не було коренів полінома, крім. Нехай при, мінливим на колі. Так як функція неперервна і не звертається на колі в нуль,. Візьмемо коефіцієнти полінома настільки малими, що на колі. Тоді на цій окружності виконана умова теореми Руше, і поліном має стільки ж коренів всередині кола (з урахуванням їх кратностей), скільки їх має, тобто . p> Зокрема, простий корінь при малій зміні коефіцієнтів трохи переміщається, залишаючись простим. Якщо коефіцієнти залежать від речового параметра, будучи не тільки безперервними, а й диференційовними функціями, то прості корені мають похідні за, саме,
. br/>
У точках, де ця похідна відмінна від нуля, корінь переміщається по гладкої кривої. Картина ускладнюється, коли коріння В«стикаютьсяВ», перетворюючись при деякому значенні в кратний корінь. p> Розглянемо приклад.
В
Нехай прі. При коріння рівні 0 і 2. Далі,. При зміні від 0 до 1 коріння зближуються і, при, зливаються при значенні (рис.1). При подальшим збільшенні коріння стають комплексними і розходяться вздовж прямої. У нас немає ніяких підстав вважати, який з коріння пішов вгору: той, який прийшов ліворуч, або той, який прийшов праворуч. Коріння після зіткнення як би втрачають індивідуальність. br/>
3. Розподіл речових коренів полінома з речовими коефіцієнтами
Обмеження речових коренів полінома з речовими коефіцієнтами.
Лемма про зростання модуля дає засіб для обмеження всіх коренів за модулем зверху. Саме, якщо для знайти таке, що | f (z) |> M = 0, як тільки, то, очевидно, за межами кола радіуса поліном не має коренів, і тому всі його коріння не перевищують по модулю. p> Для речових коренів поліномів з речовими коефіцієнтами можна вказати інші оцінки, які іноді виявляються краще. Наведемо одну з них. p> Теорема (оцінка Маклорена): Нехай, причому. Якщо не має негативних коефіцієнтів, то відсутні позитивні коріння, так що верхній оцінкою для речових коренів виявляється число 0. Нехай негативні коефіцієнти є,-номер першого по порядку негативного коефіцієнта і A - максимум модулів негативних коефіцієнтів. Тоді речові коріння не перевершують. p> Доказ: Нехай всі коефіцієнти ненегативні і. Тоді, так що не має позитивних коренів. Нехай тепер негативні коефіцієнти є і. Маємо. Підкреслені доданки, якщо вони є, ненегативні при, і тому
.
При буде, отже,
В
Отже, при буде, так що всі речові коріння не перевершують, що й потрібно було довести.
За допомогою оцінки коренів зверху легко отримати і оцінку знизу. Для цього достатньо розглянути поліном
.
Коріння цього поліно...
