ер покладемо при й. Тоді і
В
Лема доведена.
. Розподіл коренів на площині комплексної змінної
У цьому розділі ми розглянемо дві важливі теореми, які можуть нам допомогти в обчисленні коренів полінома.
Теорема (принцип аргументу): Дан простий замкнутий контур і поліном, що не має коренів на контурі. Тоді число коренів полінома всередині контуру (з урахуванням кратності) одно, де є приріст аргументу, обчислене в припущенні, що z проходить даний контур один раз у позитивному напрямку. p> Доказ: Над полем C кожен поліном може бути розкладений на лінійні множники, відповідні коріння. Нехай - таке розкладання. При обході змінної z контуру області все сомножители правій частині і їх твір змінюються безперервно. Можна вважати, що, і, отже,. Тут прирощення відраховуються при одноразовому обході по контуру області. Доданки в правій частині дорівнюють або 0, залежно від того, чи лежить відповідний корінь всередині або поза контуру. Тому, де - число коренів, розташованих усередині контуру. p> Теорема (Руше): Нехай поліном представляється у вигляді суми двох поліномів, і на контурі області виконано нерівність. Тоді число коренів поліномів і всередині області однакові. p> Доказ: Перш за все переконаємося в тому, що до поліномах і можна застосувати принцип аргументу. З нерівностей і, справедливих для всіх на контурі, слід що і не звертаються в 0 на контурі. p> Далі,, так що, поки проходить контур області. Далі з випливає, що має значення, що лежать всередині кола з центром в точці 1 і з одиничною радіусом, так що всі вони знаходяться в правій півплощині. p> Вектор, що виходить з 0 в точку, не може обернутися навколо початку, так що. Отже,. Що і потрібно було довести. p> Є випадки, коли принцип аргументу дозволяє знайти число коренів полінома в області майже без обчислень.
Є випадки, коли принцип аргументу дозволяє знайти число коренів полінома в області майже без обчислень.
Розглянемо приклад. Потрібно взнати, скільки коренів має поліном всередині одиничного кола. На контурі,, другий доданок переважає по модулю над іншими, бо, а. p> Ясно, що поки обходить один раз одиничну окружність в позитивному напрямку, обійде коло радіуса 4 три рази, а, будучи прив'язаний до вектором, що зображує, довжин якого не перевищує 3, змушений теж обійти навколо початку 3 рази. Тому поліном має всередині одиничного кулі 3 кореня. p> Нехай тепер потрібно дізнатися число коренів цього полінома в колі радіуса 2. Переважним доданком на контурі,, виявляється, модуль якого дорівнює 64. Сума інших доданків по модулю не перевершує. Доданок обходить початок координат 6 разів, і, відходячи від не більше ніж на 34 одиниці, теж обходить початок 6 разів. Число коренів полінома в колі радіуса 2 дорівнює 6 ..
Отже, ми дізналися, що має 3 кореня в одиничному колі і 3 кореня в кільці між колами і.
Ми можемо також розглянути безперервність к...
