ма рівні коріння полінома з протилежним знаком, так що з оцінки коренів його зверху,, отримаємо оцінку знизу для коріння вихідного полінома:.
Оцінка Макролена є досить грубій оцінкою.
Наведемо приклад.
Знайдемо оцінку зверху і знизу для коренів полінома
В
Зверху:
Знизу: складемо, маємо
Отже,.
Перейдемо тепер до питання про число дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами. При цьому будемо цікавитися як загальним числом дійсних коренів, так і окремо числом позитивних і негативних коренів і числом коренів, укладених між заданими межами і. Існує кілька методів для розвідки точного числа коренів; серед них більш зручним є метод Штурма. p> Розглянемо многочлен з дійсними коефіцієнтами, причому будемо припускати, що многочлен не має кратних коренів. Кінцева упорядкована система відмінних від нуля многочленів з дійсними коефіцієнтами
(1)
називається системою Штурма для многочлена, якщо виконуються такі вимоги:
Сусідні многочлени системи (1) не мають спільних коренів.
Останній многочлен, не має дійсних коренів.
Якщо - дійсний корінь одного з проміжних многочленів системи (1),, то і мають різні знаки.
Якщо - дійсний корінь многочлена, то твір змінює знак з мінуса на плюс, коли, зростаючи, проходить через точку.
Теорема Штурма: Якщо дійсні числа і,, не є корінням многочлена, що не має кратних коренів, то і різниця, де і - число змін знаків системі Штурма (1) многочлена, дорівнює числу дійсного коріння многочлена, укладених між і.
Таким чином, для визначення числа дійсних коренів многочлена, укладених між і, потрібно лише встановити, наскільки зменшується число змін знаків в системі Штурма цього многочлена при переході від до.
Доказ: Розглянемо, як змінюється число при зростанні. Поки, зростаючи, що не зустріне кореня жодного з многочленів системи Штурма (1), знаки многочленів цієї системи не будуть змінюватися, і тому число залишається без зміни. Зважаючи на це, також зважаючи умови 2) з визначення системи Штурма, нам залишається розглянути два випадки: перехід через корінь одного з проміжних многочленів,, і перехід через корінь самого многочлена. p> Нехай - буде коренем багаточлена,. Тоді, за умовою 1), і відмінні від нуля. Отже, можна знайти таке позитивне число, що у відрізку многочлени і не мають коренів і тому зберігають постійні знаки, причому, за умовою 3), ці знаки різні. Звідси випливає, що кожна з систем чисел
(2)
І
(3)
володіє рівно одного зміною знаків незалежно від того, якими є знаки чисел і. Так, наприклад, якщо многочлен на даній ділянці негативний, а позитивний і якщо,, то системам (2) і (3) відповідають системи знаків
.
Таким чином, при переході через корінь одного з проміжних многочленів системи Штурма зміни знаків в цій системі можуть лише переміщатися, але не виник...
