39;язків буде В«зекономленаВ» при використанні діаграми Хассе. Позначимо число таких "зайвих" зв'язків буквою K. Тоді
K = N (N-1) -2 (N-1) =-3N + 2. br/>
Вираз-3N + 2 є поліномом другого ступеня від N. Це означає, що при збільшенні числа N кількість В«зекономленихВ» зв'язків K зростає в квадратичної залежності. Так, при N = 4 число зв'язків у діаграмі Хассе і в CT-замиканні буде дорівнює відповідно 6 і 12, але якщо N = 10, то співвідношення буде вже іншим: 18 і 90. Різниця і відповідно В«економіяВ» будуть вже суттєвими.
У діаграми Хассе є ще одна цікава властивість, яке можна практично використовувати при аналізі E-структур і відповідно при аналізі модельованих з їх допомогою міркувань. Це властивість визначається наступною теоремою. Нехай є деяка E-структура G, задана певними судженнями (посилками). Граф структури G, який виходить після застосування правила контрапозиции (правила C) ко всім посилкам позначимо G C , а діаграму Хассе цієї структури (якщо ми її якимось способом зуміли побудувати) - G H . Тоді дотримується таке співвідношення:
Теорема 1. Для будь-яких E-структур дотримується G H ГЌ G C . p> Це означає, що після того, як будуть побудовані контрапозиции вихідних посилок, в отриманому графі будуть в наявності всі дуги діаграми Хассе. Хоча не виключено, що при цьому в графі будуть присутні і зайві для діаграми Хассе дуги, які ми можемо легко розпізнати і видалити.
Але наша В«ЕкономіяВ» зайвих зв'язків на цьому не закінчується. Можна, виявляється, будь-яку E-структуру представити числом зв'язків, у два рази меншим, ніж число зв'язків у діаграмі Хассе. Зверніть увагу, що в діаграмі Хассе всі зв'язки В«ходять парами В»: судження і його контрапозиции. А чому б нам кожну таку пару НЕ представити всього одним судженням? Адже все одно вилучене судження ми отримаємо, застосувавши до залишився судженню правило контрапозиции.
Цей інваріант, складений з половини суджень діаграми Хассе, названий мінімальним безліччю посилок E-структури. Чому мінімальним? А тому що вихідна E-структура може містити посилки, які насправді логічно випливають з інших посилок. Якщо цю E-структуру доповнити всіма наслідками, одержуваними за допомогою правила C, а потім перетворити отриману систему в діаграму Хассе, то ми, порівнюючи вихідні посилки з судженнями діаграми Хассе, зможемо знайти В«зайвіВ» (тобто виведені з інших посилок) посилки серед вихідних.
Логічна система, в якій ні одна посилка не є наслідком будь-яких інших посилок, називається незалежною. В якості прикладу розглянемо, чи є незалежної E-структура, задана наступними посилками:
A В®; В®; C В®; C В®.
Будуємо граф з посилками (малюнок 3) і до кожної посилці добудовуємо контрапозиции (малюнок 2, 3)
В
Рис. 3 Рис. 4
Придивившись уважно до графа на малюнку 4, ми побачимо, що дуга A В® з'єднує літерали, між якими є шлях A В® В®. Звідси випливає, що система не незалежна і посилка A В® є наслідком інших посилок (C В® і В®). Щоб з графа на малюнку 4 отримати діаграму Хассе даної структури, потрібно вилучити з цього графа дугу A В® та її контрапозиции D В®.
Використання властивостей діаграми Хассе в E-структурах дозволяє, по-перше, визначити структурні подібності та відмінності в них, по-друге, оцінити незалежність вихідних посилок і, по-третє, суттєво зменшити обсяг пам'яті для їх подання на електронному носії.
