сенсі Хеммінга) до bj, ніж у будь-який інший, дозволеної комбінації. p align="justify"> Таке декодування по найменшій відстані є оптимальним для симетричного каналу без пам'яті. Однак для інших каналів це правило може і не бути оптимальним, тобто не відповідати максимуму правдоподібності. p align="justify"> Виправляюча здатність коду при цьому правилі декодування визначається наступною теоремою.
Якщо код має d> 2 і використовується декодування з виправленням помилок по найменшій відстані, то всі помилки кратністю q Для доказу покажемо, що в умовах теореми (при q Отримані результати можна виразити такими формулами:
(5.13)
де qо - кратність гарантовано виявлених помилок в режимі, коли помилки лише виявляються; Qи - кратність гарантовано виправляє помилок.
Дві доведені теореми дозволяють оцінити вірогідність помилкового декодування (при декодуванні з виправленням помилок) та ймовірність невиявленої помилки (при декодуванні з виявленням помилок) в симетричному каналі без пам'яті. Для цього нагадаємо, що ймовірність виникнення яких-небудь помилок кратності q визначається відомим біноміальним законом
(q) = Сnqpq (1 - p) nq . (5.14)
Ця формула випливає з того, що помилки в такому каналі є незалежними подіями з імовірністю р.
Використовуючи доведені теореми і рівність (5.14), отримуємо такі оцінки для ймовірності помилкового декодування Ро.я1 при корекції помилок і для ймовірності невиявленої помилки рНА1 при виявленні помилок:
Pо.д? Сnqpq (1 - p) n-q (5.15)
Рн.о? Сnqpq (1 - p) n-q (5.16)
Тут [d/2] позначає найбільшу цілу частину d/2. Знак нерівності в (5.8) і (5.9) ставиться тому, що код, взагалі кажучи, може виправляти деякі помилки кратності d/2 і вище і виявляти помилки кратності d і вище. p> Перешкодостійкі коди можна застосовувати і в дискретних каналах зі стиранням. Якщо у прийнятому блоці помилок немає, але є qc стертих (не опізнані модемом) символів, то при qc
