an align="justify"> 100-5,700885,70088 неустойчіво1 ,2661100-4, 94146i4, 94146iКрітіческій випадок
Проілюструємо нестійкість отриманих стаціонарних рухів графічно. Для цього наведемо графіки відхилень для значень і. З малюнків видно, що в обох випадках значення відхилень сильно зростають з плином часу при виборі досить малих значень. br/>В
Рисунок 3 - відхилення, при
В
Рисунок 4 - відхилення,, при
В
Рисунок 5 - відхилення, при
В
Малюнок 6 - відхилення, при
В
Малюнок 7 - відхилення, при
В
Рисунок 8 - відхилення, при
Висновок: при дослідженні на стійкість за першим наближенням стаціонарних рухів механічної системи, обертання пластини навколо вертикальної осі в найвищому положенні при будь-яких кутових швидкостях і в найнижчими положенні, при кутових швидкостях більших ніж, нестійкі. Для інших рухів потрібні додаткові дослідження іншими методами. br/>
2.2 Дослідження стійкості руху за допомогою функції Ляпунова
Досліджуємо стійкість стаціонарних рухів механічної системи другим методом Ляпунова.
Побудуємо, функцію Ляпунова використовуючи метод Четаева - метод зв'язки інтегралів. br/>
.
Для цього запишемо перші інтеграли розглянутої системи.
Інтеграл енергії:
(2.11)
Інтеграл кінетичного моменту:
(2.12)
Досліджуємо стійкість першого стаціонарного руху:
Використовуємо відхилення (1.11), підставимо їх у інтеграли.
В В
Розкладемо інтеграли в ряд за ступенями відхилень, і відкинемо доданки старше другого ступеня:
В В
Для того щоб позбутися від констант віднімемо з інтегралів інтеграли від нулів:
В В
Складемо функцію Ляпунова у вигляді, покладемо:
(2.13)
Наводячи подібні доданки, отримаємо:
(2.14)
Для того щоб функція була виразно позитивною необхідно щоб вираз,
(2.15)
Отримуємо що при виконанні умови (2.15), функція буде визначено позитивною, а її похідна буде тотожно дорівнює нулю.
Отже, розглянуте рух буде стійким для всіх
Для всіх, функція буде знакозмінної, і зробити висновок про стійкість або нестійкість можна.
Досліджуємо другий стаціонарний рух:. Використовуємо відхилення (1.13), підставимо їх вперше інтеграли:
В В
Використовуючи формули приведення, отримаємо:
В В
Розкладемо інтеграли в ряд за ступенями відхилень, і відкинемо доданки старше другого ступеня:
В В
Позбудемося констант:
В В
Складемо функцію Ляпунова:
В В
Виберемо, отримаємо
.
Наведемо подібні доданки:
(2.16)
Розглянемо коефіцієнт, котрий перед:
, для будь-яких. (2.17)
...
