.1 Дослідження стійкості руху за рівняннями першого наближення
Розглянемо систему (1.12), що представляє собою рівняння збуреного руху механічної системи, і досліджуємо її на стійкість за першим наближенням.
В
Запишемо рівняння першого наближення, для цього розкладемо праві частини системи (1.12) в ряд за ступенями відхилень в околиці необуреного руху і залишимо тільки члени першого порядку:
(2.1)
Запишемо характеристичне рівняння системи:
, де (2.2)
Обчислимо його коріння:
(2.3)
Вираз. Вираз під коренем буде більше 0 при виконанні умови
. (2.4)
Таким чином, при виконанні умови (2.4) всі три корені характеристичного рівняння (2.2) дійсні числа, і серед них є корінь. Тому на основі твердження теореми Ляпунова про нестійкість за першим наближенням можна зробити висновок: стаціонарний рух, при виконанні умови (2.4) нестійкий по першому наближенню. p> Якщо вираз має від'ємне значення, то є, то всі три кореня характеристичного рівняння (2.2) мають дійсні частини рівні 0, і на підставі теореми Ляпунова про нестійкість і нестійкості стаціонарного руху по першому наближенню не можна зробити висновок про стійкість або нестійкість розглянутого руху . Потрібні додаткові дослідження. p> Розглянемо другу стаціонарний рух. Рівняння обуреного руху визначені системою (1.14):
В
Аналогічно першому руху, запишемо рівняння першого наближення:
(2.5)
Характеристичне рівняння має вигляд:
, де
. (2.6)
Його рішення:
(2.7)
Вираз, при будь-яких значеннях. Отже, всі корені характеристичного рівняння (2.6) дійсні. Причому один з коренів, тому на підставі теореми Ляпунова про нестійкість за першим наближенням, можна зробити висновок: що стаціонарний рух нестійкий по першому наближенню. p> Розглянемо третій стаціонарний рух
В
Рівняння обуреного руху визначені системою (1.16):
В
Аналогічно першому руху, запишемо рівняння першого наближення для системи (1.16):
(2.8)
Введемо позначення:
,
, (2.9)
.
Складемо характеристичне рівняння:
(2.10)
Корені рівняння (2.10) мають нульову дійсну частину (критичний випадок), тому за рівняннями першого наближення не можна зробити висновок про стійкість або нестійкість стаціонарних рухів:
В
Знайдемо чисельні значення коренів, відповідних характеристичних рівнянь для стаціонарних рухів з різною кутовий швидкістю і при різних значеннях. Результати запишемо в таблицю 1. br/>
Таблиця 1
, радий , рад/с Двіженія050-1, 11803i1, 11803iКрітіческій случай060-1, +224741,22474 нестійкий
