Таким чином, функція (2.16) є знакозмінною, а її похідна буде тотожно дорівнює нулю.
Висновок: на підставі даного методу зробити висновок про стійкість або нестійкість другого стаціонарного руху не можна.
Для підтвердження та ілюстрації отриманих результатів, побудуємо графіки відхилень в околиці сталого стаціонарного руху. Виберемо
В
Рисунок 9 - відхилення, при
В
Рисунок 10 - відхилення, при
В
Малюнок 11 - відхилення, при
Висновок: обертання пластини навколо вертикальної осі в найнижчими положень з кутовою швидкістю, стійко.
2.3 Дослідження стійкості стаціонарних рухів методом Рауса
Досліджуємо стаціонарні руху механічної системи за допомогою функції Рауса:
В
де - циклічна координата.
Для розглянутої системи - є циклічною координатою, функція Рауса прийме вигляд:
(2.18)
Випишемо Лагранжіан системи, для цього використовуємо отриману раніше формулу (1.2)
В
Знайдемо циклічний інтеграл:
, підставляючи Лагранжіан (1.2) отримаємо:
В
Висловимо величину:
, (2.19)
підставимо отримане значення у функцію Рауса, отримаємо
(2.20)
Уявімо функцію (2.20) у вигляді суми квадратичної, лінійної і нульовий форм щодо ступенів узагальненої швидкості
В
,
,
(2.21)
Наведена потенційна енергія системи буде дорівнює
(2.22)
Положення, в яких друга похідна від наведеної потенційної енергії по координаті має позитивний знак, є стійкими. Відповідно положення, в яких вона має негативний знак, є нестійкими. Досліджуємо на стійкість стаціонарні руху (1.5) - (1.7) на стійкість. Для цього продифференцируем двічі (2.22) по координаті:
(2.23)
Підставимо в (2.23) циклічний інтеграл визначає константу:
(2.24)
Розглянемо перший стаціонарний рух:
Підставимо значення в (2.24):
(2.25)
Для стійкості аналізованого руху необхідно щоб (2.25) була більше нуля.
В
(2.26)
Отримуємо що при виконання умови (2.26) функція (2.24) позитивна, отже, для, стаціонарне рух буде стійким. Для, рух нестійкий. p> Розглянемо другу стаціонарне рух:
,
отриманий вираз завжди менше нуля, отже, можна зробити висновок: Стаціонарне рух системи, нестійка.
Розглянемо третій стаціонарний рух
В
:
Висловимо значення:
, підставимо отримане значення в (2.24), отримаємо
(2.27)
Перетворимо вираз (2.27):
В
Використовую формулу тригонометрії, перепишемо попереднє співвідношення,
(2.28)
Так як, то вираз, для будь-яких. Це означає що, вира...
