а простий, але за відсутності готових таблиць тригонометричних функцій вимагає вилучення коренів; виконання цієї операції вручну займає досить багато часу. Крім того, наближення сходяться до Пі дуже повільно: з кожною итерацией похибка зменшується лише вчетверо. Тим не менш, до середини XVII ст. всі спроби європейських учених обчислити Пі, так чи інакше, спиралися на цей метод.
З наближень, відомих грекам, слід ще згадати лише дане Птолемеєм, який стверджував, що Пі = 3 Вє 8 '30 ", тобто що (у сучасній записи) p = 3 +8/60 +30/3600? 3.1416.
Перш, ніж переходити до середньовічних і сучасним європейським математикам, доречно сказати про результати отриманих в Індії, Китаї і на Сході.
Китайський астроном Чжан Хен у II ст. стверджував, що друга ступінь довжини кола відноситься до другої ступені периметра квадрата, описаного навколо кола, як 5:8. Це ставлення відповідає приблизно . Подібне значення Пі зустрічається в індійського математика Брахмагупти (VII ст.) І у середньоазіатського математика і астронома Мухамеда бен Муси аль Хорезмі (IX в).
Аріабхата (приблизно в 530 р.) дає значення Пі = 62832/20000, що дорівнює 3,1416. Бхаськара (близько 1150 р.) вказав два наближення. Одне з них (можливо, почерпнуте від Аріабхати, але обчислене заново методом Архімела за допомогою периметрів правильних 384-кутників) одно 3927/1250, тобто 3,1416. Китайський астроном Цзу Чун Чжі (нар. у 430 р.) довів, що значення Пі лежить між 3,1415926 і 3,1415927, і вказав значення 355/113, яке він назвав В«правильнимВ». p align="justify"> Серед арабських математиків слід зазначити Дж. Г. ал-Каші (близько 1436), який знайшов для 2? значення +6,2831853071795865. Це значення, вірне у всіх 16 десяткових знаках, було отримано з обчисленого ним раніше в шестидесятеричной системі значення з 9 знаками. Цим він поставив рекорд, що протримався до 1596 р. Крім того, майже напевно можна сказати, що це був перший приклад переведення дробу з однієї системи числення в іншу.
Повертаючись до європейських математикам, простежимо, як були знайдені послідовні наближення для числа Пі (причому багато з отриманих до XVIII ст. значень були спочатку обчислені, щоб довести помилковість якийсь нібито знайденої квадратури).
Леонардо Пизанский (Фібоначчі) в XIII в. дав для Пі значення 1440/458 1/3, що дорівнює 3,1418 .... У XV в. Пурбах вказав (обчислена, можливо, не їм) значення 62832/20000, рівне 3,1416. Микола Кузанський вважав, що точним значенням Пі буде рівне 3,1423, і кажуть, що У 1464 Региомонтан (Йоганн Мюллер) дав значення 3,14243. Вієт в 1579 р. показав, що Пі більше, ніж +3,1415926535, і менше, ніж +3,1415926537. Цей результат Виет отримав на підставі значень пе...
