виражається через Пі.
Можна сказати, що ті з обчислює Пі математиків, які використовували перший метод, виходили з геометричного визначення числа Пі, а ті, хто використовував аналітичні методи, трактували це число як математичний символ, що виникає в численних розділах математичного аналізу та позначає деяку константу, значення якої можна (і треба) знайти.
У Єгипті приблизно в 1700 р. до н. е.. брали, що Пі одно 256/81, що в десяткового запису відповідає 3.1605. У Вавилоні та Юдеї використовувалося більше грубе наближення у вигляді числа 3. Швидше за все, ці числа були отримані емпірично - досвідченим шляхом. Вже в самих ранніх індоєвропейських цивілізаціях було відомо, що площа кола пропорційна квадрату його радіуса, а довжина кола пропорційна її діаметру. p align="justify"> Найвеличніший математик давнини Архімед із Сіракуз у своєму трактаті В«Вимірювання колаВ» (III до н.е.) строго довів рівність двох зазначених відносин. Він обчислив і наближене значення Пі, причому на основі математичних принципів, а не прямих вимірювань діаметра, площі круга і довжини кола. Архімед вписував у коло і описував навколо неї правильні багатокутники (тобто багатокутники із сторонами однакової довжини). Діаметр окружності приймався за одиницю, а периметри вписаного і описаного багатокутників розглядалися як наближення відповідно знизу і зверху до довжини окружності, яка в даному випадку чисельно збігається з Пі. p align="justify"> Цей метод наближення Пі ні нововведенням: ще раніше вписувати багатокутники із зростаючим числом сторін запропонував Антифон, а його сучасник Брісон з Гераклеї додатково ввів описані багатокутники. Нововведенням був виконаний Архімедом правильний розрахунок результату подвоєння числа сторін як вписаного, так і описаного багатокутників. Тим самим він розробив процедуру, повторення якої достатню кількість раз в принципі дозволяє обчислити Пі з будь-яким кількістю символів. p align="justify"> Слід зауважити, що периметр правильного багатокутника легко обчислюється за допомогою простих тригонометричних функцій: синуса, косинуса і тангенса, однак за часів Архімеда, тобто в III ст. до н.е. ці функції ще не були повністю вивчені і обчислення периметрів було далеко не таким легким справою, як може зараз здатися.
Архімед почав з вписаного і описаного шестикутників і отримав нерівність .
Чотири рази подвоївши число сторін (тобто довівши його до 96), він звузив інтервал для Пі: і отримав наближене значення? 3,14. Є деякі підстави припускати, що дійшов до нас текст трактату В«Вимірювання колаВ» представляє собою частину більш великого праці, в якому Архімед пояснює, як, почавши з десятіугольнік і застосувавши шість разів операцію подвоєння, він отримав наближення з п'ятьма знаками; ? ? 3,1416. Сам по собі метод Архімед...
