і морфізма а морфізм задаються як трійки , що роблять комутативними діаграми
В
Діаграма 11
Позначимо через забуває функтор.
Пропозиція1. Нехай - категорія з копределамі. Ліве розширення Кана функтора вздовж можна визначити як функтор, що приймає значення
В
Доказ. Нехай задано природне перетворення Побудуємо природні за d морфізм . З цією метою розглянемо діаграму
В
Для всіх морфізм дають комутативні діаграми
В
Діаграма 12
Які складають природне перетворення . Композиція після переходу до прямого межі призводить до шуканого морфізма . Можна перевірити безпосередньо, що зображення, зіставляє кожному природному перетворенню природне перетворення буде біекція.
Проте, ми вкажемо універсальну стрілку.
Нехай - канонічні морфізм копредела. Покладемо рівним . Легко бачити, що коммутативна діаграма:
В
Отже, - універсальна стрілка, а функтор, сопоставляющий кожній діаграмі F діаграму , пов'язаний ліворуч до .
Метод побудови сполучених функторів
Нехай функтор з малої категорії в довільну. Розглянемо функтор , діючий на об'єктах як
В
Тут - функтор, що приймає значення на об'єктах і морфізма категорії . Для кожного морфізма категорії природне перетворення буде складатися з сімейства відображень , діючих за формулою:
В
Наступне нижчою пропозицію стверджує, що у випадку категорії з копределамі існує функтор , зв'язаний ліворуч до D. І дається спосіб обчислення значень цього функтора
