y">. для будь-якого безлічі Х і об'єкта позначимо через копроізведеніе об'єктів . Будемо називати його сумою копій. Для довільних функторів визначимо функтор як композицію . Тут .
Пропозиція1. Нехай - категорія з копределамі. Тоді функтор , визначений як , пов'язаний ліворуч до функтора D.
Доказ. Скористаємося изоморфизмом
В
За допомогою ізоморфізму та пропозиції 1 з пункту розширення Кана отримуємо
В
Легко бачити, що ці ізоморфізми природні за Х і А. Отже, G пов'язаний ліворуч до D.
Зауваження: З пропозиції 1 випливає, що G (X) буде копределом діаграми, що складається з морфізм.
В
Діаграма 14
Опишемо метод побудови лівого сполученого до D за допомогою лівого розширення Кана .
Як і вище, розглянемо функтор , що приймає на об'єктах значення . Сопоставляющий кожному морфізм природне перетворення, що мають компоненти , що зіставляють кожному морфізм композицію морфізма .
Пропозиція 2. Нехай - кополная, а - мала категорія. Для будь-якого функтора функтор має лівий зв'язаний, ізоморфний лівому розширенню Кана
В
Діаграма 15
Доказ. Оскільки , то потрібно довести, що існує природна за біекція
В
Розглянемо довільне природне перетворення і побудуємо для нього . У силу природності ? мають місце комутативні для всіх діаграми
В
Діаграма 15
в яких компоненти природного перетворень зіставляє елементам відображення . За пропозицією з пункту розширення Кана, безліч буде дорівнює . Стало бут...
