по
В
Він означає, що твір функторів пов'язане ліворуч з . Покладемо і застосуємо ці два ізоморфізму до одиничної стрілкою 1: . Тоді одиниця твори сполучень дорівнює як і стверджувалося.
,
Подвійне міркування показує, що коедініца дорівнює . Можна безпосередньо перевірити, що останні формули визначають природні перетворення , які задовольняють трикутним тотожностям.
Використовуючи таке множення, можна утворити категорію , об'єктами якої служать всі (малі) категорії X, A, D, ..., а стрілками - сполучення з введеним множенням; одиничної стрілкою для кожної категорії А служить тотожне пару
Ця категорія володіє і адитивної структурою. Кожне hom-безліч можна розглядати як категорію - а саме, як категорію сполучень між Х і А. Її об'єкти - зазначені сполучення, а її стрілки - сполучені пари з вертикальним множенням.
Нехай дано дві сполучені пари
В
Тоді (горизонтальні) твори природних перетворень визначають сполучену пару природних перетворень , яка відповідає творам сполучень.
Доказ можна виразити діаграмою hom-множин
В
Операція горизонтального множення в дійсності є біфунктором
В
Це означає, що Adj є двовимірної категорією.
Розширення Кана
Нехай - функтор між малими категоріями, і - довільна категорія. Розглянемо функтор , діючий на об'єктах як , на морфізм - Лівий зв'язаний до називається лівим розширенням Кана і позначається . Правий зв'язаний до називається правим розширенням Кана.
Згідно з визначенням сполучених функторів, функтори зв'язні природної біекція
В
У цьому випадку пара буде універсальною стрілкою:
В
Діаграма 10
Нехай - об'єкт. Нагадаємо, що позначається кома - категорію. Об'єктами цієї категорії є пари, що складаються з об'єкта ...
