так як в цьому випадку до точності результатів розрахунку не пред'являються дуже жорсткі вимоги. Розглянемо найпростіший приклад для випадку одного виміру.
Нехай?- Безперервна випадкова величина, що приймає свої значення xi в деякій області? на осі OX. Закон розподілу заданий щільністю ймовірностей f (x) в?. Розглянемо завдання про визначення ймовірності попадання випадкової величини? в інтервал? з фіксованими межами a і b, що міститься в?. Якщо позначити шукану ймовірність P (a??
(2.1)
Цей інтеграл можна обчислити за методом статистичних випробувань (експеримент з отриманням випадкових значень випадкової величини?). Якщо з'явилося при даному випробуванні значення xi знаходиться усередині інтервалу?, Дане випробування будемо вважати вдалим. Після проведення N випробувань підрахуємо число m вдалих випробувань і обчислимо частоту p попадання випадкової величини? в інтервал?:
(2.2)
Маючи в своєму розпорядженні частотою p, ми можемо наближено оцінити шукану ймовірність p на підставі закону великих чисел.
Для цього скористаємося теоремою Бернуллі: якщо подія А має ймовірність p і якщо m - число настання подій А при N незалежних випробуваннях, то яке б не було постійне?> 0.
(2.3)
При досить великому числі випробувань як оцінка для інтеграла можна взяти частоту, тобто
(2.4)
Моделювання експерименту включає:
. із сукупності випадкових чисел з законом розподілу f (x) витягується число xi;
2. випадкове число xi порівнюється з межами a і b інтервалу?. Результати порівняння відзначаються спеціальним ознакою?, Рівним одиниці, якщо виконано нерівність:
a? x i < b (2.5)
і рівним нулю в іншому випадку;
. отримана величина? додається до вмісту «лічильнику числа вдалих випробувань»;
4. до вмісту «лічильника кількості випробувань» додається одиниця.
Після проведення N випробувань визначається наближене значення шуканої ймовірності:
(2.6)
Описана процедура не вимагає запам'ятовування всіх випадкових чисел, видобутих у процесі рахунку. По ходу обчислення запам'ятовуються тільки число випробувань N і число вдалих випробувань m.
Для того, щоб метод статистичних випробувань можна було вважати практично прийнятним, необхідно оцінити точність рівності (4.1) і на цій підставі визначити число випробувань N для обчислення інтеграла з достатньою точністю. Подання про точність можна отримати, розглядаючи p, як випадкову величину. Вона має математичне сподівання:
(2.7)
і дисперсію:
(2.8)
Тому середня квадратична помилка рівності (2.2) буде дорівнює:
(2.9)
Видно, що максимум досягається при р=0,5.
Обговоримо питання про точність методу більш докладно. Рівність (2.2) має точність? з надійністю?, якщо для нерівності справедливе співвідношення:
(2.10)
Зв'яжемо величини? і? з числом випробувань N. Першу орієнтування в цьому питанні можна отримати з нерівності Чебишева, справедливого для будь випадкової ве...
