е протиріччя формалізованої математичної теорії, в основі якої лежать принципи теорії множин (це стосується і побудов Н. Бурбак), було б внутрішньо властиво принципам, покладеним в основу самої теорії множин, а тому необхідно було б змінити ці принципи. Але щодо всіх формалізованих математичних теорій, що грунтуються на принципах теорії множин, слід зазначити, що вони спираються на теорію, в якій встановлені парадокси. онтологічний математичний сутність Бурбак
Відносно вироблюваних систем доказів, слід підкреслити, що формалістской математика, починаючи з Д. Гільберта (це відноситься і до структурному підходу Н. Бурбак), що виросла як заперечення інтуїтивної позиції, звела в культ форму, знак і правила оперування зі знаками. У певному відношенні це прогрес. Досягнення структурного аналізу Н. Бурбак в математиці ніколи не будуть перекреслені. Але цей підхід затвердив разом з тим цілу систему помилкових вірувань. Усяке змістовне мислення в сучасній математиці стало розглядатися як бідує в логічному аналізі.
Формалізація стала розумітися як єдиний спосіб остаточного затвердження будь-якого результату, причому достовірність була ототожнена з фінітними. Якщо у формальному підході неможливо вивести яку-небудь формулу, відповідну твердженням про несуперечності математичного об'єкта, то достовірного обгрунтування не існує. Насправді формалізм і зокрема структуралізм зовсім не виключають змістовного міркування, що обгрунтовує несуперечливість з граничною достовірністю, слід звернутися лише до «Коммуникативной алгебрі» Н. Бурбак. Змістовне аподиктичні доказ не потребує формалізації для підтвердження своєї надійності. Це означає, що змістовне обгрунтування математики цілком незалежно і не обмежується у своїх можливостях теорією структур. Так, наприклад, «Комунікативна алгебра», у якій розглянуті алгоритми представлення низки функцій у вигляді векторних просторів - локальних і глобальних кілець, а також полів - це результат розвитку теорії чисел та аналітичної геометрії.
Автор ставить мета - виявити онтологічний статус алгоритму - жорстко заданій послідовності непорожньої безлічі комунікативних операцій - кільця, здійснюваних в «Коммуникативной алгебрі» Н. Бурбак. Відзначимо, що в кільці здійснюються бінарні операції - операції з двома об'єктами, що позначаються знаком + і - і записом об'єктів один біля одного. У комунікативній алгебрі присутній також операція «рівність» і особливий елемент 0. Всі операції монотонні щодо рівності. Це означає, що якщо віднімаються або складаються об'єкти однієї операції, то відповідно зменшуються або збільшуються об'єкти іншої операції. Але, перш за все, необхідно розглянути поняття алгоритму і його місця в математиці.
Слід особливо звести наклеп, що побудова будь-якого алгоритму, як і системи доказів, - це особливі математичні проблеми - нерозв'язності. Незважаючи на те, що поняття алгоритму є чи не найбільш поширеним у сучасній математиці, природа цього поняття стала ясною тільки з появою математичної логіки. З історичної точки зору поняття алгоритму пов'язано з алгеброю, тому що саме там воно з'явилося вперше. Цікава та обставина, що слова алгебра і алгоритм зобов'язані своїм виникненням одній людині - узбецькому математику Аль Хорезмі.
Математика має справу з математичними об'єктами, серед яких можна назвати числа, функції, множини, фігури і т.д. Суть математики ...
