, що математика вільна від протиріч; несуперечливість постає як мета, до якої варто прагнути, як якесь дане Богом якість, послане нам раз і назавжди. З найдавніших часів критичні перегляди підстав всієї математики в цілому або будь-якого з її розділів майже незмінно змінювалися періодами невпевненості, коли виникали протиріччя, які доводилося вирішувати ... Але ось вже 25 століть математики мають звичай виправляти свої помилки і бачити в цьому збагачення, а не збіднення своєї науки; це дає їм право дивитися в майбутнє спокійно »[1. с. 259].
Висловлюючи повну впевненість в тому, що будь-які виникаючі проблеми математики неодмінно будуть дозволені, Н. Бурбак висловлюється думка про те, що «... якщо коли-небудь буде доведено, що математика суперечлива, то, швидше за все, стане виразно ясно, яким правилом слід приписати отриманий результат. Відкинувши це правило, або належним чином видозмінивши його, ми позбудемося протиріччя. Інакше кажучи, математика змінить напрямок свого розвитку, але не перестане бути наукою. Сказане не просто умовивід: щось подібне сталося після відкриття ірраціональних чисел. Ми далекі від думки оплакувати це відкриття, тому що воно розкрило протиріччя в піфагорейської математики, а, навпаки, сьогодні ми вважаємо його однією з великих перемог людського духу »[1. с. 265]. В якості основних методів дозволу математичних протиріч Н. Бурбак на перший план були виведені: по-перше, аналіз математичних структур; по-друге, велику увагу було приділено взаємопроникнення алгебри, арифметики і теорії функцій.
Автор зазначає, що несуперечність - це одна з проблем, що займають сучасних логіків і математиків. Математична теорія називається суперечливою, якщо яка-небудь теорема доводиться в ній разом зі своїм запереченням. У цьому випадку, виходячи з правил умовиводу, що лежать в основі побудови синтаксису формалізованих мов, можна зробити висновок про те, що будь-яка теорема одночасно і істинна, і помилкова у цій теорії. Якщо приходимо до протиріччя, то не можемо залишити його існувати, не знецінюючи теорії, в якій воно виникло.
Метаматематика може розглянути проблеми несуперечності своїми власними методами. Визначити, що деяка теорія несуперечлива, - значить стверджувати, що вона містить правильне формалізоване доказ, оканчивающееся заключному a=a. Щоб уникнути проблеми несуперечності, необхідно, щоб несуперечливість багатого формалізованої мови можна було довести за допомогою міркувань, формалізуються в мові менш багатому і, тим самим, більш гідному довіри. Але теорема К. Геделя про неповноту стверджує, що це неможливо для мови, досить багатого аксіомами. При доказах відносної несуперечності, що встановлюють несуперечливість однієї теорії в припущенні несуперечності іншої теорії, наприклад теорії множин, метаматематичних частина міркування досить проста. Сучасні математичні теорії, у тому числі і теорія математичного структуралізму Н. Бурбак, прив'язуються, як правило, відносно логічної перевірки несуперечності до теорії множин. Звідси можна зробити висновок про те, що всяке протиріччя, зустрінуте в одній з цих теорій, дало би привід протиріччя в самій теорії множин. Але це не аргумент, що дозволяє судити про несуперечності самої теорії множин. З часу достатньо точного формулювання аксіом теорії множин з них стали витягувати слідства в найрізноманітніших областях математики.
Автор підкреслює, що будь-як...
