полягає в доказі істинних тверджень про ці об'єкти; і якщо є такий доказ, об'єкт, що фігурує у затвердженні, вважається існуючим. Питання про те, де він існує: у світі ідеальних сутностей, або ж у думці у математика, або ж в зовнішньому світі, і займає філософів математики. Важливим фактом є те, що алгоритм у звичайному його розумінні не є традиційним математичним об'єктом.
Для розуміння цього важливого факту слід звернутися до того, що являють собою математичні твердження. Зазвичай вони є дескриптивними - описують властивості математичних об'єктів. У більш широкому сенсі можна вважати, що математичні твердження описують математичну реальність, що б під цим не розумілося.
Всі алгоритми носять імперативний характер. Вони являють собою приписи. У цьому сенсі вони не є математичними об'єктами в їх традиційному розумінні. Імперативи не їсти частина математики. Це представляється дивним, але слід врахувати, що алгоритми з'являються в математичних доказах у вигляді тексту, який ніяк не підходить під визначення математичного об'єкта як чогось такого, що описується математичними твердженнями.
У «Коммуникативной алгебрі» Н. Бурбак всі приписи представлені у вигляді діаграм:
0? F F -? F / (F F)? 0
?? ?
? F -? F + F -? (F + F) / F? 0
які потім забезпечені дескриптивними висловлюваннями у вигляді лем і теорем. Наприклад, лема представляє цю діаграму:
Нехай E - правий модуль A модуль, F - лівий модуль A модуль і F, F такі підмодулі в F, що F=F + F. Тоді перетин канонічних образів модулів EF і EF в модулі EF одно канонічному образу модуля E ( FF). [2. с.31].
Для розуміння природи алгоритму і його визначення в якості математичного об'єкта необхідно фіксувати різницю між дескриптивними і імперативними твердженнями - в даному випадку між діаграмою, як жорстко встановленої послідовністю дій, і лемою, як дескриптивних висловлюванням. Це перше протиставлення, яке необхідне при о?? Судженні питання про статус алгоритму. Іншим протиставленням є протиставлення класичної та постклассической математики або, більш точно, класичного аксіоматичного методу і сучасного аксіоматичного методу. Вкрай важливим буде також поділ синтаксичних і семантичних аспектів математичних побудов.
Вперше об'єкти, які можна зіставити з алгоритмами, з'явилися в класичній алгебрі. Саме там алгоритми стали претендувати на те, щоб їх можна було уподібнити математичним об'єктам. Народження постклассической математики також пов'язане з алгеброю, яка ввела в обіг зовсім нові математичні об'єкти. Поняття алгоритму стало формалізованих і зрозумілішим в рамках математичної логіки. Слід взяти до уваги, що до виникнення математичної логіки алгебра певною мірою грала роль логіки всередині математики. Звичайна логіка, пов'язана з ім'ям Аристотеля, ставилася до законів мислення і не грала якої-небудь значущої ролі в математиці. Кодифікація в сучасній постклассической математики, до якої належить і структуралізм Н. Бурбак, була здійснена засобами математичної логіки, яку багато дослідників зовсім не співвідноситься з законами мислення.
Об'єктом філософського аналізу стала модель імперативного висловлювання і представляє його висловлювання дескриптивного. Виявляючи онтологічний статус алгоритму - жорстко заданій послідовності непорожньої безлічі комунікативних операцій - кільця, здійснюваних в «Коммуник...
