у.
. Серед функцій сімейства є такі, які мають як завгодно велику частоту коливань.
Перше властивість, зокрема забезпечує існування інтегралів, які необхідні для обчислення коефіцієнтів розкладання.
Друга властивість буде виконано, якщо зажадати, щоб поряд з функціями в базис входили б і їх зрушення по осі, тобто функції виду, для будь-яких цілочисельних.
Третя властивість буде виконано, якщо поряд з функціями в базис входитимуть їх стиснення і розтягування, наприклад функції виду, для будь-яких цілочисельних.
Якщо базис в породжувався однією функцією за допомогою зрушень і розтягувань, тобто він складався з функцій виду.
Існує дві функції (сплески) і, зрушення і розтягування першої функції породжують расширяющуюся послідовність підпросторів, а друга функція породжує базис простору. Крім того, ці функції мають ще додатковими властивостями, які суттєво полегшують обчислені коефіцієнти розкладання. Приклад подібного базису відомий спочатку минулого століття - це базис Хаара. Проте теорія таких функцій і базисів сплесків значно розвинена пізніше.
Побудуємо в просторі ортонормованій базис Хаара. Він визначається на основі функції прямокутної хвилі
.
Процедуру побудови базису Хаара проведемо в кілька етапів. Спочатку визначимо зростаючу послідовність підпросторів. На основі цієї послідовності будуть природним чином введені вейвлет простору і самі вейвлети Хаара.
.2.1 масштабується послідовність підпросторів
Розглянемо систему функцій, отриману з цілочисельними зрушеннями:
,. (1.20)
Позначимо - простір у, породжене лінійними комбінаціями таких зрушень (- замикання лінійної оболонки системи). Ця система,, утворює ортонормованій базис простору.
Розглянемо масштабовані зрушення. Вони виходять з зрушеннями на:.
Носій функції став в два рази менше:
.
Тому
.
Якщо помножити такі функції на, тоді всі вони будуть одиничної норми.
Розглянемо систему функцій
, (1.21)
і простір, породжене ними. Система утворює ортонормованій базис простору.
Простір складається з кусочно-постійних функцій з проміжками сталості довжини, це лінійні комбінації функцій. За побудовою простір є масштабированной версією простору, іншими словами,. Звідси випливає, що. Дійсно, що породжує функція простору виражається у вигляді лінійної комбінації елементів простору:
.
Оскільки і, то
,
де ненульові тільки такі:.
Далі розглянемо простір, породжене функціями:
,,
отриманими з функції зрушеннями на по осі. Носій,, є відрізок довжини. Система утворює ортонормованій базис простору, де.
Продовжуючи цю процедуру, для будь-якого розглянемо систему функцій:
. (1.22)
Це ортонормированного система функцій,, всі функції системи виходять з зрушеннями на по осі. Нехай - простір, породжене системою функцій. Має місце наступне включення:
.
Продовжимо цей процес до нескінченності. Тоді ми отримаємо нескінченну систему вкладених підпросторів:
.
У кожному просторі виділений ортонормованій базис, є кусочно-постійними функціями. Оскільки останні утворюють щільне безліч, то, де межа зверху по...
