винно було б бути дуже швидким. Так ми приходимо до розгляду вейвлет-розкладів, для породження. Так само, як і у випадку, де одна функція породжує цілий простір, функція породжує все. Але якщо вейвлет має дуже швидке згасання, то як воно може покрити всю істотну вісь зрушенням уздовж. Нехай позначає безліч цілих чисел:
.
Найпростіший спосіб для покрити всі безліч полягає в розгляді всіх цілочисельних зрушеннях, а саме,.
Потім, також як і в синусоидальном випадку, можна розглядати хвилі різних частот. Заради обчислювальної ефективності використовуємо для частотного розбиття цілі ступеня 2. В результаті розглядаємо малі хвилі
, (1.8)
Зауважимо, що отримана з однієї «вейвлет-функції» в результаті довічного розтягування (тобто розтягування в разів) і двопараметричного зсуву (на). «Вейвлет-функція», двійкові розтягування і двопараметричного зрушення яких достатні для представлення будь-якої функції з. Розглянемо ортогональний базис, породжений функцією.
(1.9)
(1.10)
де. Зауважимо, що для будь-яких ми маємо
.
Отже, якщо функція має одиничну норму, то всі функції, визначені формулою
, (1.11)
також мають одиничну норму, тобто
,. (1.12)
Далі будемо використовувати символ Кронекера
, (1.13)
визначений ст.
Визначення 1.1. Функція називається ортогональним вейвлетом, якщо сімейство, певне формулою (1.11), є ортонормированного базисом в: це означає, що
, (1.14)
і будь-яка може бути представлена ??як
, (1.15)
де ряд (1.15) сходиться в, а саме
.
Найпростішим прикладом ортогонального вейвлета є функція Хаара, певна формулою
. (1.16)
Ряди, що представляють функції в (1.15), називаються вейвлет-рядами. Аналогічно позначенню коефіцієнтів Фур'є в (1.2) вейвлет коефіцієнти визначаються формулою
. (1.17)
Якщо визначити інтегральне перетворення в як
,, (1.18)
то вейвлет-коефіцієнти (1.15) і (1.17) приймають вигляд
(1.19)
Лінійне перетворення називається інтегральним вейвлет-перетворенням щодо «базисного вейвлета».
Отже, - вейвлет коефіцієнт функції визначається інтегральним вейвлет-перетворенням, обчисленим в точці двопараметричного зсуву з двійковим розтягуванням, де той же ортогональний вейвлет використовується для породження вейвлет ряду (1.15) і для визначення інтегрального вейвлет-перетворення (1.18).
Перетворення Фур'є являє собою важливу складову аналізу Фур'є. Якщо дві складові аналізу Фур'є, явно не пов'язані один з одним, дві складові вейвлет-аналізу: вейвлет ряд (1.15) і інтегральне перетворення (1.18), тісно пов'язані один з одним, як це показано формулою (1.19).
.2 Вейвлети Хаара
Для того щоб функції утворювали хороший базис, бажано, щоб вони мали наступними властивостями: мали компактний носій; «Були присутні» б у будь-якій точці простору; могли відображати швидкі коливання функції. Більш формально, від сімейства потрібна такі властивості:
. Компактний носій кожної функції.
. Для будь-якої точки існує функція сімейства, носій якого містить точк...
