значає замикання.
Аналогічним чином можна ввести простору з негативним. Тоді отримуємо систему вкладених підпросторів, нескінченну в обидві сторони:
.
Звідси випливає, що:
і.
.2.2 Простору вейвлетов
Кожне з введених вище підпросторів має свій базис, що складається з функцій. При цьому базис наступного простору не виходить з базису простору додаванням нових елементів. Тому поки не можна з цих базисів просторів отримати базис всього простору. Однак цього можна було б досягти, якби базис наступного простору виходив би з базису попереднього простору додаванням нових елементів.
Розглянемо для простоти простору і. Оскільки є замкнутий підпростір, то існує ортогональное додаток до в просторі, позначимо його. Тоді маємо ортогональное розкладання простору:.
Тому до базису простору можна додати базис додаткового простору і в результаті отримати базис більш широкого підпростору. Для того щоб реалізувати цю процедуру, з'ясуємо, з яких функцій складається.
Нехай функція. Оскільки, тоді розкладається по базису простору:. Оскільки, то для будь-якого маємо:. Простір входить в, отже, функції також розкладається по базису простору. Коефіцієнти цього розкладу були раніше знайдені,
. (1.23)
Тоді умова ортогональності в приймає вид
.
Так як - ортонормованій базис, то з останньої рівності маємо:
,.
Отримана система рівнянь має безліч рішень (їх з овокупность породжує простір). Візьмемо найбільш просте, що складається з двох ненульових значень:
,.
Йому відповідає функція
,
, (1.24)
називається вейвлетом Хаара. Вона чудова тим, що її зсув утворюють базис простору. Функції утворюють ортонормированного систему. Крім того, кожна функція ортогональна кожної функції. Тому. Система функцій утворює новий ортонормованій базис простору. Це випливає з того, що будь-який базисний елемент простору виражається через і. Дійсно,
,.
Вирази для решти виходять зрушеннями на.
Таким чином, отриманий ортонормованій базис простору, де перший набір функцій утворює ортонормованій базис простору, а другий вибір - базис додаткового простору відповідно з розкладанням. Новий базис простору виходить з базису додаванням елементів з.
Аналогічним чином можна отримати базис простору. Оскільки є замкнутий простір, то існує ортог?? Нальное додаток до в просторі, позначимо його, тоді. Враховуючи, що, отримуємо:.
За побудовою простору є масштабированной версією простору, іншими словами,. Тому і простір є масштабированной версією простору. Отже, напівцілим зрушення функції утворюють базис простору. Позначимо ці (пронормовані) базисні функції. Оскільки базис простору утворений функціями, то базис простору складається з елементів. Він отриманий з базису простору додаванням нових елементів і. Ясно, що процес можна продовжити до безкінечності, використовуючи розкладання для будь-кого. Тоді
.
ортонормированного базис простору утворює функції виду
. (1.25)
Отже, ортонормованій базис простору складається з функцій
.
Можна також продовжити розкладання і в «негативну сторону»,. Оскільки простору, зменшуючись при, сходяться до ...
