поперечний розмір вузької стінки хвилеводу.
Підставивши (2.15) і (2.16) в (2.8), маємо:
(2.17)
Підставивши (2.17) в E (?, n, z)=E (?, n) AE exp (-jKz) і позначивши добуток коефіцієнтів В, D і А як Е0, отримаємо остаточне рішення хвильового рівняння для поздовжньої складової вектора напруженості електричного поля Е-хвиль у прямокутному хвилеводі
(2.18)
Щоб скористатися рівняннями зв'язку для визначення поперечних складових векторів напруженості електричного і магнітного полів Е-хвиль у прямокутному хвилеводі, необхідно знайти приватні похідні і. Обчислимо їх, провівши приватна диференціювання виразу (2.18) по змінним х і у:
Аналіз рівняння (2.18) і його приватних похідних показує, що для Е-хвиль цілі числа тип, що входять у вирази для коефіцієнтів kx і ky, не повинні дорівнювати нулю, тому що в противному випадку всі складові векторів Е і Н цих хвиль дорівнюватимуть нулю.
Підставляючи значення обчислених приватних похідних в рівняння зв'язку, отримаємо систему рівнянь для складових векторів Е і Н поперечно-магнітних хвиль (Е-хвиль) в прямокутному хвилеводі:
,
де Ex (x, y), Ey (x, y), Ez (x, y), Hx (x, y), Hy (x, y) - амплітуди векторів Е і Н, E0x, E0y, E0z , H0x, H0y - максимальні значення цих амплітуд.
.2 Система рівнянь для Н-хвиль у прямокутному хвилеводі
Відмінність рішення рівняння (2.6) для Н-хвиль від рішення для Е-хвиль полягає в застосуванні граничних умов. Справа в тому, що рівняння E?=0, яке в разі Е-хвиль безпосередньо трансформується в граничні умови для складової Ez, в даному випадку може бути використано лише опосередковано за допомогою системи рівнянь зв'язку. Причому граничні умови можуть бути отримані не безпосередньо для складової Hz, а лише для її приватних похідних і. Так як Ех є дотичною складовою при у=0 і при у=b, а Еу є дотичною складовою при х=0 і при х=а, то отримуємо:
при у=0 і при у=b,
при х=0 і при х=а.
Використовуючи ці граничні умови при вирішенні рівняння (2.6) знаходимо вираз для складової Hz магнітних хвиль (Н-хвиль) в прямокутному хвилеводі Hz:
(2.20)
Аналіз рівняння (2.20) показує, що, на відміну від рівняння (2.18), в даному випадку цілі числа тип порізно можуть дорівнювати нулю.
Знайшовши приватні похідні і, підставляючи отримані значення в рівняння зв'язку, отримуємо систему рівнянь для векторів Е і Н магнітних хвиль (Н-хвиль) в прямокутному хвилеводі:
,
, Ez=0,
,
, (2.21)
.
3. АНАЛІЗ РІШЕНЬ РІВНЯНЬ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ прямокутного хвилеводу
Отримані вище системи рівнянь ((2.19), (2.21)) є рішеннями рівнянь Максвелла, що задовольняють фізичним умовам розглянутої задачі і граничним умовам. Отже, відповідно до теореми єдиності, ці рішення однозначно описують закони зміни в просторі і в часі векторів Е і Н всередині хвилеводу. Спробуємо на основі цих математичних викладок описати фізичну картину електромагнітних процесів, що відбуваються всередині хвилеводу.
Насамперед запишемо розгорнуту формулу для критичної довжини хвилі Е-і Н-хвиль:
(3.1)
де m і n - цілі позитивні числа, які для Н-хвиль можуть порізно дорівнювати нулю, а для Е-хвиль починаються з одиниці.
Кожній парі цілих ...
