gn="justify"> Рівняння зв'язку виходять в результаті перетворення рівнянь Максвелла і граничній умові для тангенціальної складової вектора напруженості електричного поля (E?) на поверхнях ідеальних провідників: E? =0;
rotH=j?? a Е
rotE =-j?? a H ??(2.1)=0
divE=0
Для декартовій (прямокутній) системи координат (х, у, z) рівняння зв'язку для Е-і Н-хвиль виглядають таким чином:
Е-хвилі:
(2.2)
Н-хвилі:
(2.3)
,
де К - поздовжнє хвильове число для Е і Н-хвиль в хвилеводі,?- Поперечне хвильове число.
(2.4)
(2.5)
.1 Система рівнянь для Е-хвиль у прямокутному хвилеводі
Розподіл полів у хвилеводі може бути знайдено шляхом вирішення системи рівнянь Максвелла при заданих граничних умовах на стінках хвилеводу.
Малюнок 2.1 Система координат прямокутного хвилеводу.
Розмістимо прямокутну систему координат так, як показано на малюнку 2.1. У цьому випадку верхня і нижня стінки хвилеводу знаходяться в площинах у=0 і у=b, а бічні - в площинах х=0 і х=а.
Рівняння
(2.6)
в декартовій системі координат має наступний вигляд:
(2.7)
При інтегруванні рівняння (2.7) скористаємося методом Фур'є. Уявімо функцію? (X, y) у вигляді добутку двох функцій Х (х) і Y (y), кожна з яких залежить тільки від однієї просторової зміною:
? (x, y)=X (x) Y (y) (2.8)
Підставами (2.8) в (2.7) і виконаємо приватна диференціювання:
(2.9)
Перейшовши в (2.9) від приватних диференціалів до звичайних, і поділивши його почленно на твір X (x) Y (y), маємо:
(2.10)
Прирівняємо перший член рівняння (2.10) постійному коефіцієнту-к? x, а другий - постійному коефіцієнту - к2у. У цьому випадку рівняння (2.10) може бути представлено у вигляді системи з трьох простіших рівнянь:
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Рівняння (2.11) і (2.12) є звичайними однорідними диференціальними рівняннями другого порядку, рішеннями яких є комбінації показових або тригонометричних функцій і постійних коефіцієнтів.
Рішення рівняння (2.11) для розглянутого випадку буде мати наступний вигляд:
(2.14)
В вираз (2.14) входять постійні коефіцієнти С, D і k, для визначення яких необхідно скористатися граничною умовою E? =О.
Граничне умова Ет=0 для вибраного розташування декартової системи координат щодо стінок хвилеводу перетвориться в такі умови: для складової Ez: Ez=0, при х=0, х=а, у=0 і у=b.
Стосовно до рівняння (2.14) це означає, що при х=0 і при х=а права частина рівняння повинна звертатися в нуль.
Перша умова може бути виконане тільки в тому випадку, якщо С=0, а друге - якщо кх=m? a, де m - будь-яке ціле позитивне число; а - поперечному розмір широкої стінки хвилеводу. Використовуючи граничні умови, рівняння (2.14) приймає наступний вигляд:
(2.15)
Провівши аналогічні операції з рівнянням (2.12), отримуємо:
(2.16)
де В - постійний коефіцієнт,
kv=n? / b - постійний коефіцієнт, n - будь-яке ціле позитивне число, b -...
