ть" замінюються константами "заперечення" і "Диз'юнкція", а потім заперечення складного виразу розкривається з допомогою формул Де Моргана:
В¬ (U ^ ф) перетворюється на (В¬ Uv В¬ ф), В¬ (U v ф) перетворюється на (-U ^ ф), В¬ В¬ U перетворюється на U. p> Останній етап перетворень - внесення диз'юнкцій всередину дужок: (ВЈ v (U ^ ф))) замінюється ((ВЈ vU (U) ^ (ВЈ vф)). p> Прийнято скорочувати вкладеність дужкових форм, відкидаючи в нормальній кон'юнктивній формі знаки операцій v і л. Нижче представлений приклад перетворення виразу, що містить імплікації двох дужкових форм, в нормальну кон'юнктівную форму.
В¬ (pvq) (-p ^ Aq) Початкове вираз.
В¬ В¬ (pvg) v (-p ^ - q) Виняток ~.
(pvq) v (-p ^ - q) Введення - всередину дужок.
(В¬ pv (pvq)) v (В¬ pv (pvq)) Занесення v всередину дужок.
{{-p, р, q}, {В¬ q, р, q}} Відкидання А і v в кон'юнктивній нормальній формі. p> Вирази у внутрішніх дужках - це або атомарні формули, або негативні атомарні формули. Вирази такого типу називаються літералами, причому з точки зору формальної логіки порядок літералів не має значення. Отже, для представлення безлічі літералів - фрази - можна запозичити з теорії множин фігурні дужки. Літерали в одній і тій же фразі неявно об'єднуються диз'юнкцією, а фрази, ув'язнені у фігурні дужки, неявно об'єднуються кон'юнкція.
Фразова форма дуже схожа на кон'юнктівную нормальну форму, за винятком того, що позитивні і негативні літерали в кожній диз'юнкції групуються разом по різні сторони від символу стрілки, а потім символ заперечення відкидається. Наприклад, наведене вище вираз
перетвориться в дві фрази:
p, q <В¬ q.
в яких позитивні літерали згруповані ліворуч від знаку стрілки, а негативні праворуч.
Більш строго, фраза являє собою вираз виду
в якому p1 ..., рт q1, ..., qn є атомарними формулами, причому т => 0 і п => 0. Атоми в множині р1, ..., рт подають висновки, об'єднані операторами диз'юнкції, а атоми в множині q1 ..., qn - умови, об'єднані операторами кон'юнкції.
В
3.1 Обчислення предикатів
Обчислення висловлювань має певні обмеження. Воно не дозволяє оперувати з узагальненими твердженнями на кшталт "Всі люди смертні". Звичайно, можна позначити таке твердження деякої пропозіціональной константою р, а інший константою q позначити твердження "Сократ - людина". Але з (р л q) не можна вивести твердження "Сократ смертний".
Для цього потрібно аналізувати пропозіціональние символи у формі предикатів і аргументів, кванторів і квантіфщірованних змінних. Логіка предикатів надає нам набір синтаксичних правил, що дозволяють виконати такий аналіз, набір семантичних правил, за допомогою яких інтерпретуються ці вирази, і теорію доказів, яка дозволяє вивести правильні формули, використовуючи синтаксичні правила дедукції. Предикатами позначаються властивості, такі як "бути людиною ", і відносини, такі як бути" вище, ніж ".
Аргументи можуть бути окремими константами, або складеним виразом "функція-аргумент", яке позначає сутності деякого світу цікавлять нас об'єктів або окремими квантіфіціруемого змінними, які визначені в цьому просторі об'єктів. Спеціальні оператори - квантори - використовуються для зв'язування змінних і обмеження області їх інтерпретації. Стандартними є квантори спільності (V) і існування (3). Перший інтерпретується як "все", а другий - "Дехто" (або "дещо"). p> Нижче наведені синтаксичні правила обчислення предикатів першого порядку.
Будь-який символ (константа або змінна) є термом. Якщо rk є символом k-місцевій функції і а1 ..., (S 40
Якщо Tk є символом k-місцевого предиката
і а1 ..., ak є термами,
то U (а1 ..., ak) є правильно побудованої формулою (ППФ).
(S. -) і (S. v)
Правила запозичуються з обчислення висловлюванні.
(S. V) Якщо U є ППФ та% є змінною,
то (будь Х) U є ППФ.
Для позначення використовуються такі символи:
U - довільний предикат;
Г - довільна функція;
a - довільний терм;
X - довільна змінна.
Дійсні імена, символи функцій і предикатів є елементами мови першого порядку.
Використання квантора існування дозволяє перетворити терми з квантором спільності відповідно з визначенням
(EX) U визначено як - (будь-який X)-U.
Вираз (EХ) (ФІЛОСОФ (Х)) читається як "Дехто є філософом", а вираз (будь Х) (ФІЛОСОФ (Х)) читається як "Будь є філософом". Вираз ФІЛОСОФ (Х) являє собою правильно побудовану формулу, але це не пропозиція, оскільки область інтерпретації для змінної X не визначена небудь квантором. Формули, в яких всі згадані змінні мають певні області інтерпретації, називаються замкнутими формулами.
Як і в численні висловів, у численні предикатів існує нормальна форма п...
