відносне подовження в циліндрі в радіальному і окружному напрямках і висловимо їх через переміщення і. Для цього розглянемо елементарний відрізок AB=dr, виділений в радіальному напрямку (рис.6), до і після навантаження циліндра. Точка А отримує переміщення і , а точка В - переміщення і + du. Легко встановити, що нова довжина елемента буде дорівнює, а його відносне подовження
Розглянемо, далі, довжину окружності, проведеної всередині циліндра до і після його навантаження (малюнок 7 ) Довжина кола до навантаження циліндра дорівнює 2? r. Після навантаження радіус збільшиться на u і довжина кола
Або
Звернемося тепер до рівнянь рівноваги.
Малюнок 6. Елементарний відрізок до і після навантаження циліндра
Малюнок 7. Довжина кола всередині циліндра до і після навантаження
Виділимо з циліндра елемент у формі криволінійного шестигранника. Розміри цього елемента дорівнюють dr , dz і d ? .
В осьових перетинах циліндра (площина ABCD елемента) за умовами осьової симетрії дотичні напруження? t, називаються окружними. У поперечних перерізах циліндра (поверхня ADEF елемента) дотичні напруження також передбачаються рівними нулю.
Підстава цьому служить умова незалежності переміщень u від координати Z. У поперечних перерізах можуть існувати нормальні (осьові) напруги? z, які виникають як наслідок навантаження циліндра силами уздовж осі. Ці напруги передбачаються незмінними як по осі, так і по радіусу циліндра.
Оскільки майданчики ABCD і ADEF є головними, головною буде також і майданчик ADEG. Напруга на цьому майданчику позначимо через ? r . Воно називається радіальним напругою. При переході від радіуса r до радіусу r + dr напруга ? r отримає прирощення d ? r .
У переміщень в тілі обертання вирішується у функції тільки одного незалежного змінного - радіуса r.
Проектуючи сили, що діють на елемент, на напрям радіуса, отримуємо наступне умова рівноваги: ??
Малюнок 8. Напруги і переміщення в тілі обертання.
Звідки
або
Решта рівняння рівноваги для елемента задовольняються тотожно. Відповідно до узагальненого закону Гука напруги, і пов'язані з подовженням і наступними співвідношеннями:
,
Будемо вважати, що напруга нам изв?? стно з умов завантаження циліндра осьовими силами по торцях.
Підставами і у вираз. Тоді на додаток до рівняння рівноваги одержимо.
Складаючи і віднімаючи почленное рівняння, одержимо два нові рівняння:
Вирішуючи їх, знаходимо:
де А і В - довільні постійні.
Далі визначаємо
(верхньому індексом відповідає верхній знак, нижньому - нижній).
Переміщення u може бути знайдено з виразу, якщо визначити попередньо за законом Гука з:
2.2 Визначення переміщень і напружень в товстостінному циліндрі
Розглянемо циліндр з внутрішнім радіусом a і зовнішнім b. [3] (малюнок 9).
Для спільності будемо вважати, що циліндр навантажений одночасно і внутрішнім тиском ? a і зовнішнім ? h . Надалі, приймаємо ? a =0, або ? h =0, можна буде проаналізувати окремо випадок дії.
Малюнок 9 - Дія внутрішнього і зовнішнього тисків на циліндр.
Тільки внутрішнього і тільки зовнішнього тиску. При цьому треба ще врахувати, що якщо циліндр має днище, то в ньому виникає осьова розтягуються сила, рівна:
Осьове напругу? z буде наступним:
Довжина циліндра при цьому пропонується досить більшою для того, щоб можна було вважати, що напруга розподілено по поперечному перерізі рівномірно і що утримує вплив днищ на радіальні ...
