pan> ) + j В· Im (w r ),
= j В· Re S ( w l ) - Im ( w l ) - j В· Re S ( w r ) + Im ( w r ).
При множенні квадратурної функції на j (для вираження в (1.1.6)):
j В· =-Re S ( w l ) - j В· Im ( w l ) + Re S ( w r ) + j В· Im ( w r ).
Звідси неважко бачити результат:
Z s ( w ) = S ( w ) + j == 2 В· Re S ( w r ) + j В· 2 В· Im ( w r ) = 2 В· S ( w r ),
що повністю відповідає виразу (2.1.5). У короткій формі:
= , =-j < span align = "justify"> Г— sgn ( w ) Г— S ( w ), (1.1.8)
Таким чином, спектральна щільність аналітично сполученого сигналу утворюється із спектру S ( w ) вихідного сигналу s (t) множенням на функцію-j Г— sgn ( w ). Це забезпечує при підсумовуванні S ( w ) + j подвоєння амплітуд частотних складових в області позитивних частот і їх взаємну компенсацію в області негативних частот.
.1.2 Перетворення Гільберта
З виразу (1.1.8) в спектральної області безпосередньо слід відповідна зв'язок функцій s (t) і в тимчасовій області
= s (t) * hb (t) , (1.2.1)
де hb (t) = TF [-j Г— sgn ()] - зворотне перетворення Фур'є функції-j Г— sgn ():
hb (t) = 1/(t). (1.2.2)
З виразу (1.1.8) неважко отримати і зворотний зв'язок спектральних густин S () і :
S () = j Г— sgn Г— ,
з якої випливає:
s (t) = - * hb (t). (1.2.1 ')
Вирази (1.2.1 і 1 ') відомі в математиці під назвами прямого і зворотного перетворень Гільберта.
Визначення перетворення. Пряме перетворення Гільберта довільній дійсної функції x (t), - ВҐ < ; t < ВҐ , результат якого будемо відображати знаком тильди над індексом вихідної функції, задається сверткой x (t) з функцією hb (t) = 1/(t):
(t) = H [x (t)] = x (t) * ...
