< span align = "justify"> (1/t), (1.2.3)
(t) = . (1.2.3 ')
Функція 1/(tu) називається ядром перетворення Гільберта
В
Рис. 1.2.1
Інтеграл перетворення має особливу точку при a = tu Гћ 0 і при обчисленні використовується його головне значення за Коші:
[ ... + ...].
Оператор Гільберта визначений по аргументу від - ВҐ до ВҐ і має полюс в точці t = 0 з розривом значень від - ВҐ до ВҐ . Основний ділянку форми оператора Гільберта і приклад перетворення сигналу наведено на рис. 1.2.1.
Спектральна характеристика перетворення. Виконаємо перетворення Фур'є функції (1.2.3). У загальній формі:
(f) = TF [ (t)] = X (f) Г— Hb (f) (1.2.4)
(f) = (t) exp (-j2ft) dt. (1.2.4 ')
Зауважимо, що твір X (f) Г— Hb (f) не є перетворенням Гільберта спектральної функції X (f ). Це не більше ніж перетворення Фур'є згортки функцій: x (t) * hb (t) Г› X (f) Г— Hb (f) , яке дозволяє обчислити результат перетворення Гільберта в тимчасовій області через частотну область:
(t) = (f) Г— exp (j2ft) df = X (f) Г— < span align = "justify"> Hb (f) Г— exp (j2ft) df
В
Рис. 1.2.2
Функція hb (t) = 1/t є непарною, а спектр цієї функції, представлений тільки уявною частиною, є (з урахуванням знака уявної частини) зворотного сигнатурної функцією (Ріс.1.2.2):
Hb (f) = TF [1/t] =-j Г— sgn (f) = (1.2.5)
Відповідно, формули (1.2.3) задають перетворення сигналу x (t) системою, частотна передатна характеристика якої відображається функцією-j Г— sgn (f). Фур'є-образ функції (t):
(f) =-j sgn (f) Г— X (f). (1.2.4 ")
В
Рис. 1.2.3
На ріс.1.2.3 наведено перетворення радіоімпульсного сигналу x (t) = a (t) Г— cos ( o t) з несучою частотою в сигнал (t) в тимчасовій області безпосередньо через операцію згортки по (1.2.3). Сигнал x (t) є одностороннім каузальним. Спектр сигналу містить реальну і уявну складові, тобто може бути записаний у вигляді X (?) = Re (X (?)) + j Г— Im (X (?) ). Ці складові для сигналу x (t) на ріс.1.2.3 показані безперервними кривими на рис. 1.2.4 і 1.2.5.
При виконанні перетворення (1.2.4 ") реальна і уявна частини спектру X (?) множиться на-j Г— sgn (?). Функція Re (X (?)) (1.2.4) множиться на 1 при? <0, на 0 при? = 0 і на -1 при?> 0, і тим самим перетворюється на непарну уявну частину Im ( (?)) спектру (?) функції (t), показану пунктиром.
В
Рис. 1.2.4 Перетворення Re (X) Гћ Im ( )
В
Рис. 1.2.5 Перетворення Im (X) Гћ
