ся квадратурних доповненням сигналу s ( t). Якщо прийняти
(z (t)) = = TH [s (t)] = s (t) * hb (t), (1.1.3) (t) = 1/( ? t ),
де індексом позначений сигнал НЕ комплексно, а аналітично зв'язаний з s (t), hb (t) - оператор Гільберта, то вираз для аналітичного сигналу запишеться наступним чином:
z s (t) = s (t) + j Г— . (1.1.4)
Це означає, що Квадратурна додаток сигналу s (t) являє собою згортку сигналу s (t) з оператором 1/(? t ) і може бути виконано лінійною системою з постійними параметрами.
= (1 /? t) s (t) dt '/ (t-t'), ( 1.1.3 ')
В
Аналітичний сигнал залежить від дійсного аргументу, є однозначним і диференційовних. На комплексній площині він відображається вектором, модуль і фазовий кут якого змінюються від аргументу, а проекція сигналу на речову вісь для будь-якого значення аргументу дорівнює значенню вихідного сигналу s (t). Якої нової інформації аналітичний сигнал не несе, оскільки отриманий лінійним перетворенням з вихідного сигналу і представляє собою його нову математичну модель. p align="justify"> Чому оператор Гільберта для отримання квадратурного доповнення сигналу визначено виразом 1/(? t) і яку фізичну операцію він виконує ? Відповідь на це питання може бути отриманий при розгляді спектру аналітичного сигналу.
Спектральна щільність аналітичного сигналу, якщо він сформований безпосередньо в тимчасовій області, визначається звичайним перетворенням Фур'є:
Z s (?) = z s (t) exp (-j? t) dt.
Ця функція, з урахуванням виразу (1.1.2), повинна бути відмінна від нуля тільки в області позитивних частот, де її значення (в силу нормировки на, а не на 2) повинні бути рівні подвоєним значенням спектральної щільності сигналу s (t):
s () = (1.1.5)
З іншого боку, при безпосередньому перетворенні формули (1.1.4) аналітичного сигналу z s (t), отримуємо :
Z s () = S () + j . (1.1.6)
В
Рис. 1.1.3
Даний вираз дійсно для всієї осі частот (від - ВҐ до + ВҐ ) і має дорівнювати вираженню (1.1.5). А це означає, що ліва частина спектру (негативні частоти) сигналу (1.1.6) повинна бути звернена в нуль. Це може бути виконано наступним чином.
Якщо ліві частини спектру сигналу S помножити на -1, обнулити реальну частину на частоті і без зміни праві частини спектру, то будуть отримані функції, показані пунктиром на ріс.1.1.3), які дають нулі в лівій частині спектру при складення з вихідною функцією S і збільшують в 2 рази праві частини спектру. Така операція може бути виконана множенням спектру S на сигнатурну функцію sgn:
В
() = (1.1.7)
Однак при цьому реальна частина нової функції sgn () В· S (), як це можна бачити на ріс.1.1.3, стає непарної, а уявна частина парною, що не відповідає статусу спектральних функцій. Для відновлення статусу отриманий результат потрібно додатково помножити на-j. Застосовуючи для лівої і правої частини частотних аргументів індексування відповідно? l і? r , можна записати докладні вирази для спектрів:
S ( w ) = Re S ( w l ) + j В· Im ( w l ) + Re S (w r
