Прикладом чотиримісного предиката може служити відношення між членами пропорції X: Y = Z: W
Ознайомившись з поняттям предиката, ми переходимо тепер до розгляду операцій, що дозволяють з деяких вихідних предикатів будувати нові. Почнемо вивчення з найпростішого випадку одномісних предикатів. Нехай Р (X) і Q (X) - два одномісних предиката, визначених на деякій множині М. За допомогою операцій алгебри висловлювань ми можемо будувати нові предикати на множині М. Кон'юнкція Р (X) Г™Q (X) - це предикат R 1 (X) = Р (X) Г™Q (X), який правдивий для тих об'єктів а з М, для яких обидва предиката Р (X) і Q (X) істинними. Аналогічно визначається диз'юнкція Р (X) ГљQ (X): R 2 (X) = Р (X) ГљQ (X) - це предикат на М, який правдивий в точності для тих а М, для яких правдивий щонайменше один з предикатів Р (X) і Q (X). Так само визначається заперечення Г№Р (X): R 3 (X) = Г№Р (X) - предикат на М, істинний для тих і тільки тих а ГЋ М, для яких Р ( X) хибна.
В
4.2.2 Квантори.
В алгебрі предикатів поряд з операціями логіки висловлювань найважливішу роль відіграють операції, звані квантора-ми. Саме вживання кванторів робить алгебру предикатів значно багатшою, ніж алгебру висловлювань. Квантори відповідають за змістом того, що на звичайній мові виражається словами В«всеВ» (В«для кожногоВ», В«для всіх В»і т. п.) іВ« існує В»(В« деякий В»,В« знайдеться В»і т. п.).
Поняття, позначається словом В«всеВ», лежить в основі квантора загальності (або квантора спільності). Якщо через Гр (X) позначений предикат В«X є грекВ», визначений на множині М всіх людей, то з цього предиката за допомогою слова В«ВсеВ» ми можемо побудувати вислів В«Всі люди - грекиВ» (звісно, ​​помилкове вислів). Це приклад застосування квантора загальності. p> Взагалі ж квантор загальності визначається так. Нехай Р (X) - небудь предикат. Тоді квантор загальності - це операція, яка зіставляє Р (X) вислів
В«Все X володіють властивістю Р (X) В». (*) p> Для цієї операції (В«всеВ») вживається знак (перевернута латинська буква А, що нагадує про німецький слові В«alleВ» або англійською В«allВ» - все). Висловлювання (*) записується так: (X) P (X) (читається: В«Для всіх X Р від XВ»). У відповідності зі змістом слова В«всеВ» (X) Р (X) - помилкове вислів, крім того єдиного випадку, коли Р (X) тотожно-істинний предикат.
Поряд з квантором загальності в логіці предикатів розглядається інший квантор - В«ДвоїстийВ» йому квантор існування, що позначається знаком (це перегорнута латинська літера E, що нагадує німецьке слово В«existierenВ» або англійське В«existВ» - існувати):
(Х) Р (Х)
(читається: В«Існує таке X, що Р від XВ») - висловлювання, яке істинно тоді і тільки тоді, коли Р істинно щонайменше для одного об'єкта а з області визначення М. Тим самим (X) Р (X) - істинне вислів для всіх предикатів Р (X), крім одного - тотожно-помилкового.
Між кванторами і мають ...
