місце відносини равносильности, дозволяють зводити будь-який з цих кванторів до іншого: Г№ (X) P (X) Г› (X) Г№ P (X) (В«Неправильно, що всі X мають властивість Р (X)В» рівносильно того, що В«Існує такий об'єкт X, для якого достеменно не Р (X)В»). Звідси маємо: (X) Г› Г№ (X) Г№ P (X). Аналогічно, має місце двоїстий закон: Г№ (X) P (X) Г› (X) Г№ P (X). (В«Неправильно, що існує X, що володіє властивістю Р (X)В» рівносильно В«Все X володіють властивістю що Р (X) В»).
Звідси (X) Р (X) Ûù (X) Г№P (X). Ці равносильности називають правилами де Моргана для кванторів.
За допомогою квантора існування легко виражається судження типу В«Деякі Р суть QВ» (наприклад, В«Деякі англійці палятьВ», В«Деякі непарні числа - простіВ» і т. п.), т. е. що принаймні один об'єкт а, що володіє властивістю Р, володіє також властивістю Q. Цей факт записується формулою (X) (Р (X) Г™Q (X)) (В«Існує такий X, що Р від X і Q від XВ»). p> Аналогічно з допомогою кванторів записується ряд інших відносин між одномісними предикатами.
Набагато більш багаті можливості відкриває застосування кванторів до багатомісним предикатам. Зупинимося коротенько на цьому питанні. p> Нехай А (X, Y) - деякий двомісний предикат, визначений на деякій множині М. Квантор загальності та квантор існування можна застосовувати до нього як для змінної X, так і для змінної Y: (X) А (X, У); (Y) А (X, Y); (X) А (Х, Y); (Y) A (X, Y). Мінлива, до якої застосований квантор, називається зв'язаною, інша змінна - вільною. Всі чотири наведених вирази є записами одномісних предикатів від відповідної вільної змінної. (X) А (X, Y) (читається: В«для всіх X, A від X і YВ») - одномісний предикат від змінної Y: (X) А (X, Y) = F (У), Він правдивий в точності для тих bГЋМ, для яких одномісний предикат А (X, b) правдивий для всіх X. Якщо уявити предикат А (X, Y) його таблицею, то предикат F (Y) = (X) (X, Y) правдивий для тих b, для яких стовпець з входом b містить виключно букву і.
Застосування квантора до однієї з змінних двомісного предиката перетворює його на одномісний. У разі тримісних предикатів застосування квантора призводить до двомісному предикату. Аналогічно і для предикатів з великим числом місць застосування квантора перетворює n-місний предикат в (n - 1)-місний. p> До вільної змінної X одномісного предиката (У) А (X, Y) у свою чергу можна застосовувати квантор загальності або квантор існування. Виходять вираження
(X) ((У) А (X, У)); (X) ((Y) А (X, У)), які, опускаючи дужки, прийнято записувати дещо простіше: (X) (У) А (X, У); (X) (Y) А (X, У),
Це - висловлювання. Перше істинно, якщо всі рядки, а тим самим і вся таблиця предикатів, містять тільки букву і , друге істинно, якщо відповідна матриця містить щонайменше одну тотожно-істинну рядок. Три інші предиката (X) А (X, У), (У) А (X, У) і (X) А (X, У) також допускають квантифікацію, так що в загальній складності ми отримуємо з одного предиката вісім формально різних висловлювань: (X...
