) (У) А (X, У); (X) (У) А (X, У); (X) (У) А (X, У); (X) (У) А (X , У); (У) (X) А (X, У); (У) (X) А (X, У); (У) (X) А (X, У); (Y) (X) А (X, У).
Неважко переконатися в тому, що чотири висловлювання, що містять однакові квантори, попарно еквівалентні:
(X) (У) А (X, У) Г› (У) (X) А (X, У);
(X) (У) А (X, У) Г› (Y) (X) А (X, У).
(X) (У) А (X, У) так само як і (У) (X) А (X, У), істинно тоді і тільки тоді, коли А (X, У) - тотожно-істинний предикат, (X) (У) А (X, У) і (Y) (X) А (X, У) обидва істинні у всіх випадках, крім одного, коли А (X, У) - тотожно-помилковий предикат. Всі інші висловлювання істотно різні. Особливо слід пам'ятати, що порядок прямування різнойменних кванторів дуже важливий. p> Я вважаю, що до закінченню школи учні повинні оволодіти кванторами, але введення їх має бути поступовим і починатися в простих ситуаціях. Учні повинні добре розуміти, що від перестановки кванторів може змінюватися зміст твердження.
Наприклад, Нехай I = (а, b) - деякий інтервал. Тоді В«Для всякого хГЋI існує такий у, що у = f (х)В» ((x) (у) (у = f (х))), означає, що функція f (х) всюди визначена на I. Навпаки, В«Існує таке у, що для всякого х у = f (х)В» ((у) (х) (у = f (х))) означає, що функція f (x) приймає для всіх х деяке фіксоване значення у, тобто постійна.
Наведемо ще один приклад. Коректне визначення періодичності всюди певної функції f (х) виглядає з використанням кванторів так: (c) (x) (c В№ 0 Г™ Г™f (x + c) = f (x)),
між тим якщо переставити квантори і сформулювати твердження В«Для кожного х існує таке з, що з В№ 0 і що f (х + с) = f (x)В»: (c) (x) (c В№ 0 Г™ f (x + c) = f ( x)), то це означає лише, що функція приймає кожне значення більше ніж один раз, тобто щось зовсім інше.
У математичному аналізі часто доводиться стикатися з квантора.
Визначення границі послідовності з підручника В«Алгебра і початки аналізуВ» для 10-11 класів сформульовано так В«Число А є межею послідовності а n , якщо для будь-якого> 0 існує номер N, такий, що при всіх n> N вірно нерівність В». У кванторного позначенні це визначення записується так:
(> 0) (NГЋ N ) (n ГЋ N ) ((n> N) ГћВ p> Переставляти квантори не можна: саме той факт, що N під квантором існування слід за виразом (> 0), вказує на залежність N від обраного.
Як виразити твердження, що послідовність (х n ) сходиться? Треба вказати на те, що межа A існує. З допомогою кванторів це твердження формулюється так:
(A) (> 0) (NГЋ N ) (nГЋ N ) ((n> N) Гћ ()). p> Такий запис має ще й ту перевагу, що вона майже автоматично дозволяє формулювати заперечення існування межі, що означає властивість расходімості. Для цього досить кілька разів застосувати правило де Моргана для кванторів: (х n ) розходиться Ûù ((A) (> 0) (NГЋ N ) (nГЋ N ) ((n> N) Гћ ()) Г› (A) (> 0) (NГЋ N ) (nГЋ N ) ((n> N) Г™).
