ння 7.1. Визначимо по оператору оператор з квантовим керуючим q-бітом (перший співмножник) наступними співвідношеннями:
(7.1)
Графічно будемо зображати оператор з квантовим управлінням як показано на малюнку. Верхня лінія відповідає першому множники, нижня лінія - другому. Напрямок стрілок відповідає напрямку перемноження операторів (справа наліво).
В
Нам потрібні також оператори з кількома управляючими q-бітами:
(7.2)
Приклад 7.1. Нехай . Тоді , а (елемент Тоффолі).
Тепер побудуємо елемент Тоффолі, використовуючи перетворення двох q-бітів. Для початку знайдемо пару операторів, що задовольняють наступному співвідношенню . Наприклад, годиться така пара:
В
Пояснимо геометричний сенс цієї конструкції. Унітарна група діє на тривимірному евклідовому просторі. Щоб описати це дія, зауважимо, що ермітовим матриці з нульовим слідом утворюють тривимірне евклидово простір: скалярний твір задається формулою , ортонормованій базис утворюють матриці Паулі,
В
Унітарний оператор діє на цьому просторі так:. Можна довести (див. [8, 11.12 <# "22" src = "doc_zip1355.jpg"/>, де - підгрупа фазових зрушень, а - група поворотів у тривимірному просторі (тобто група ортогональних перетворень з детермінантом, рівним ).
При цьому дії відповідає поворот навколо осі на, відповідає поворот навколо на, а відповідає поворот навколо на.
На рис. рис. 7.1 <# "22" src = "doc_zip1368.jpg"/>, і. Останній - це керований двома бітами фазовий зсув (множення на). Перевіримо цю схему. Нехай на вхід подається вектор, де,. Якщо, то до буде застосований оператор, тобто і в третьому q-бите переставляються. Якщо ж хоча б один з керуючих бітів дорівнює 0, то до буде застосований тотожний оператор. Це і є дія елемента Тоффолі. br/>В
Малюнок 7.1: Дія елемента Тоффолі
За допомогою елемента Тоффолі можна реалізувати будь-яку перестановку базисних векторів (з використанням додаткової пам'яті).
Покажемо, як реалізувати оператор для будь-якого, діючи тільки на пари q-бітів. Для цього також буде потрібно додаткова пам'ять. Будемо будувати оператор, який діє в просторі q-бітів і задовольняє умові
В
(Застереження: ця умова не означає, що.)
Існує оборотна схема розміру, що обчислює твір вхідних бітів (з сміттям); графічно вона представлена ​​на рис. рис. 7.2 <# "63" src = "doc_zip1391.jpg"/>
Малюн...
