ок 7.2: Схема P розміру О (k)
На рис. 7.3 <# "16" src = "doc_zip1392.jpg"/> і оператора з одним керуючим q-бітом побудувати оператор. Ми застосовуємо схему, а потім - зворотний схему, після чого всі допоміжні біти повертаються в початковий стан. У проміжку самої верхньої лінії відповідає біт зі значенням. Його ми і використовуємо для управління оператором, чинним на самій нижній лінії. Іншим способом можна записати як. br/>В
Малюнок 7.3: Схема оператора
Дію можна описати так: на підпросторі, породженому векторами і, діє оператор, а на ортогональному доповненні до цього подпространству - тотожний оператор. Наше наступне завдання: реалізувати оператор, який влаштований так само, але нетривіальне дія здійснюється на підпросторі, натягнутому на довільну пару базисних векторів. Нехай ми хочемо реалізувати довільний оператор в підпросторі, натягнутому на базисні вектори і, де,,. Нехай - така перестановка, що,. Тоді потрібний нам оператор представляється у вигляді. (Нагадаємо, що - оператор, відповідний перестановці.) p> Отже, на парах базисних векторів ми можемо діяти довільно. Поки всі використані схеми мали розмір, так що побудовані дії реалізуються ефективно. Наступна частина неефективна. Має місце наступна лема. p> Лемма 7.1. Будь-яка унітарна матриця в просторі може бути представлена ​​у вигляді добутку матриць виду
В
Зауважимо, що в нашому випадку, так що отримуємо уявлення у вигляді твору експоненціального великого числа базисних операторів.
Тема 7.2 Наближена реалізація
Тепер перейдемо до кінцевих базисам. У цьому випадку можливе тільки наближене уявлення операторів творами базисних. Щоб визначити наближену реалізацію, нам буде потрібно норма на просторі операторів. p align="justify"> На просторі станів є норма . Вона, як і будь-яка норма, за визначенням задовольняє таким умовам:
(7.3)
(7.4)
(7.5)
Введемо тепер норму на просторі операторів. Нехай - простір з нормою. Простір операторів, діючих на ньому, можна представити як (ізоморфізм задається матричним представленням ).
Визначення 7.2. Норма оператора (так звана операторна норма , взагалі кажучи, є й інші) дорівнює
В
Зауважимо, що - найбільше власне число оператора .
Ця норма має усіма переліченими вище властивостями норми, а крім того, ще кількома специфічними:
(7.6)
