ілкою вказаний напрям виведення випромінювання)
Рівняння для зв'язаних хвиль, граничні умови
Згідно [6], у випадку, коли структура напівпровідникового лазера вирощена на площині (001), а високочастотні моди мають TE-поляризацію, нелінійна поляризація в GaAs перпендикулярна площині шарів і збуджує на різницевої частоті TM-моду. У цьому випадку з рівнянь Максвелла для плоских хвиль виходить вираз:
, (2.1)
де e - показник заломлення на різницевої частоті w;
x, z - просторові координати;
з - швидкість світла у вакуумі;
H y - проекція амплітуди магнітного поля;
e (2) - нелінійна частина діелектричної проникності;
k x - величина хвильового вектора високочастотних мод;
в - частота гофрування профілю діелектричної проникності;
A 1, A 2 - амплітуди векторів електричного поля високочастотних мод.
У ході виконання даної роботи залежність показника заломлення шару з гофром від координати z задавалася у вигляді суми постійної складової і першою фур'є-гармоніки розкладання зміни показника заломлення уздовж осі x [ 23]:
, (2.2)
де - амплітуда першого фур'є-гармоніки гофра діелектричної проникності;
e1, e2 - діелектричні проникності GaAs і InGaP відповідно.
Величину, зворотну діелектричної проникності, можна розкласти в ряд, обмежившись першими складовими:
. (2.3)
Тоді рішення рівняння (2.1) при умовах (2.2) і (2.3) шукається у вигляді:
, (2.4)
де,, - амплітуди центральної, правої і лівої гармонік магнітного поля відповідно;
k x - величина хвильового вектора високочастотних мод.
Нехтуючи членами другого порядку малості по амплітуді гофра профілю діелектричної проникності, рівняння для центральної гармоніки і для двох бічних гармонік мають вигляд:
(2.5)
У даній системі пов'язаних рівнянь перший вираз (2.5) визначає амплітуду поля центральної гармоніки, другий вираз (2.5) - амплітуду поля бічних гармонік. Рішення цих рівнянь вимагає виконання граничних умов, а саме: умови безперервності амплітуд гармонік і наступних комбінацій похідних:
(2.6)
Дисперсія показників заломлення
Дисперсія показника заломлення короткохвильових мод для GaAs і InGaP може бути описана наступними виразами [11]:
(1.1)
, (2.7)
де n GaAs, n InGaAs, - показники заломлення GaAs і InGaP;
h н - енергія фотонів.
Розрахунок високочастотних основних мод
Розглянемо процес поширення випромінювання в системі плоскопаралельних шарів. Наявність посилення в активних шарах враховується введенням комплексного показника заломлення. Вісь z вибирається в напрямку нормалі до площини шарів. Для TE-моди задається напруженість електричного поля у вигляді:
, (2.8)
де - напруженість електричного поля високочастотних мод;
Отримані з рівнянь Максвелла скалярні рівняння 2-го порядку для ТЕ- і ТМ-мод мають вигляд:
, (2.9)
де k 0 - хвильовий вектор для вільного простору;
k x - хвильовий вектор в хвилеводі;
При обчисленнях застосування оператора до вектора напруженості електричного поля E ( z ) описується кусочно-різницевої схемою:
(2.10)
де m - просторова точка на числовій сітці;
h - крок сітки дискретизації.
Таким чином, для знаходження власних значень хвильового вектора будується ітераційний процес. Результати розрахунку ВЧ мод представлені на малюнку 2.3.
Малюнок 1.5 - Амплітудні залежності електричних полів на довжинах хвиль 1 мкм ( а ) і 0,97 мкм ( б ), нормовані до потужності в 10 Вт (по осі абсцис напрямок z, по осі ординат - величина електричного поля)
Нормировка за потужністю в ході розрахунків проводилася за умови її обчислення [11]:
, (2.11)
де L y - довжина хвилеводу.
<...
