міну виграшу, яка невигідна для цього гравця, оскільки стан або не змінюється, або погіршується. [2]
Отже, в загальному випадку не можна стверджувати, що гра з сідловою визначає стійкі оптимальні стратегії.
максимин антагоністичний гра математичний
2. Застосування математичного апарату для розв'язання антагоністичних ігр
Постановка завдання
Фірма виробляє обладнання для хімічної промисловості. Експертами виробничого відділу фірми розглядаються три конструкторські варіанти устаткування: А - 1, А - 2, А - 3. Для спрощення припустимо, що за технічними характеристиками ці три типи майже ідентичні, однак у залежності від зовнішнього вигляду і зручності використання кожен тип може мати три модифікації: М - 1, М - 2, М - 3 залежно від закупленої технології виробництва. Собівартість виготовлення обладнання наведена в табл. 1:
Таблиця 1 Собівартість виготовлення обладнання, (млн. ум. од.)
Тип оборудованіяМодіфікаціяМ - 1М - 2М - 3А - 11065А - 2879А - 3 758
Конфліктна ситуація виникає у зв'язку з необхідністю вибрати той тип обладнання та його модифікацію, який буде затверджений економічним відділом фірми. З точки зору виробництва найбільш кращим є дорогий варіант, оскільки він дозволяє виробляти дорогу і конкурентоспроможну продукцію, тоді як з погляду економічного відділу фірми найкращим є дешевий варіант, який вимагає найменшого відволікання коштів.
Завдання експертів полягає в тому, щоб запропонувати на розгляд фінансовому відділу такий тип обладнання, який забезпечить якщо не кращий, то в усякому разі не найгірший варіант співвідношення вартості і зовнішнього вигляду.
Рішення.
Якщо виробничий відділ запропонує виготовлення обладнання типу А - 1, то економічний відділ наполягатиме на придбанні технології, яка дає модифікацію М - 3, оскільки цей варіант найдешевший. Якщо зупинитися на обладнанні виду А - 2, то швидше за все затверджений буде М - 2, і нарешті для типу А - 3 - також М - 2.
Очевидно, що з усіх можливих варіантів розвитку подій експерту виробничого відділу необхідно наполягати на варіанті впровадження у виробництво обладнання типу А - 2, оскільки це дає найбільше значення при реалізації гірших умовах - 7 млн. ум. од.
Наведені міркування відображають Максимін стратегію, отже:
,
,
,
- нижня ціна гри.
Якщо учасник відхилиться від своєї оптимальної (максиминной) стратегії і вибере першу або третю, то зможе отримати виграш, рівний тільки 5.
Розглянемо тепер ситуацію з точки зору фахівців економічного відділу. Виходячи з витрат на виробництво обладнання, вибір технології, що дозволяє виготовляти модифікацію М - 1, може призвести до максимальним витратам в тому випадку, якщо вдасться затвердити випуск устаткування типу А - 1. Для технології виготовлення обладнання з модифікацією М - 2 максимальні витрати становлять 7 млн. ум. од. для обладнання А - 2, а з модифікацією М - 3 - також для А - 2. Для економістів найкращим є вибір технології, що забезпечує виготовлення обладнання модифікації другого виду, оскільки при найгірших для них умовах вона дає найменші витрати - 7 млн. ум. од.
Останні міркування відповідають мінімаксної стратегії, яка визначає верхню ціну гри.
,
,
,
- верхня ціна гри.
Якщо гравець відхилиться від своєї оптимальної (мінімаксної) стратегії, то це призведе до великих втрат. Якщо буде вибрати першу стратегію, то можливий програш дорівнює 10, а якщо вибрати третій стратегію, то можливий програш складе 9. Наведена гра є парною грою з сідловою.
Висновок
Антагоністичні ігри є порівняно нескладними моделями доволі вузького прошарку тих явищ і процесів, де беруть участь дві зацікавлені сторони. Моделі прийняття рішень в умовах тотального конфлікту, які є предметом теорії антагоністичних ігор, становлять незначну частину дослідження операцій. Але саме теорія антагоністичних ігор є фундаментальною для побудови моделей прийняття рішень в умовах багатосторонніх конфліктів.
Теорія антагоністичних ігор, яка є основою ігрового математичного моделювання, дає можливість відносно просто досліджувати і прогнозувати техніко-економічні та соціальні конфліктно - керовані процеси. Ухвалення оптимальних рішень в умовах конфліктних ситуацій пов'язано, насамперед з вирішенням матричних ігор. Відомі методи вирішення матричної гри з порожнім безліччю сідлових точок у чистих стратегіях дозволяють знаходити її вирішення в змішаних стратегіях, де довільна пара оптимальних змішаних стратегій гравців складає ситуа...
