ій стороні невигідно міняти обрану стратегію, оскільки її противник може у відповідь вибрати іншу стратегію, яка забезпечити йому кращий результат.
Якщо
Т.е, якщо то гра називається цілком визначеною. У такому випадку виграш гравця А (програш гравця В) називається значенням гри і дорівнює елементу матриці. Цілком певні гри називаються іграми з сідловою, а елемент платіжної матриці, значення якого дорівнює виграшу гравця А (програшу гравця В) і є сідловою. У цій ситуації оптимальним рішенням гри для обох сторін вибір тільки однією з можливих, так званих чистих стратегій - максиминной для гравця А і мінімаксної для гравця В, тобто якщо один з гравців дотримується оптимальної стратегії, то для другого відхилення від оптимальної стратегії не може бути вигідним.
Як правило, задачі теорії ігор, моделюючих реальні ситуації, мають значну розмірність. Тому важливим моментом дослідження платіжної матриці є способи її скорочення. Скоротити матрицю можна, якщо виключити стратегії, про які заздалегідь відомо, що вони невигідні або повторюють один одного. [3]
Стратегії, яким відповідають однакові значення платіжної матриці (тобто матриця містить однакові рядки (стовпці)), називаються дублюючими. Якщо всі елементи i-го рядка (стовпця) платіжної матриці перевищують значення елементів j - го рядка (стовпця), то кажуть, що і-тая стратегія гравця А (гравця В) є домінуючою над j - й.
Для спрощення розрахунків дублюючі і ті стратегії, для яких існують домінуючі, вилучають з платіжної матриці.
Розглянемо приклад. Маємо гру гравців А і В, задана такою платіжною матрицею:
Гравець В
Гравець A.
Рішення.
Оптимізацію гри почнемо з визначення домінуючих стратегій для кожної із сторін, а також виключення з дальнейшего аналізу невигідних і дублюючих стратегій.
Визначимо домінуючі стратегії. Перша стратегія гравця А домінує над третьою, оскільки всі значення її виграшів за будь-яких діях противника є не гірше, ніж при виборі третього стратегії, тобто всі елементи першого рядка платіжної матриці не менше, ніж відповідні елементи її третього рядка. Тому третя стратегія гірше, ніж перша і може бути виключена з платіжної матриці.
Продовжуючи аналіз можливих дій гравця B, легко помітити, що його перша стратегія домінує над п'ятою, яку можна виключити як збиткові, а тому невигідну для цього гравця. Отже, маємо в результаті таку платіжну матрицю:
За вибором гравцем А першою стратегії залежно від дій гравця В він може отримати 6, 3, 8 або 5 одиниць виграшу. Але в кожному разі його виграш буде не менше ніж незалежно від поведінки гравця В. Якщо розглянути можливі наслідки вибору гравцем А другої стратегії, то, розмірковуючи аналогічно з'ясуємо, що його гарантований виграш складе Для третьої стратегії маємо:
Отже, нижня ціна гри буде дорівнює: а гравець А для максимізації мінімального виграшу повинен вибрати другу з трьох можливих стратегій. Ця стратегія є максиминной в даній грі.
Гравець В, який намагається мінімізувати свій програш, вибираючи перший стратегію, може програти 6,6 або 4 одиниці. Але при будь-яких варіантах дій гравця А гравець В може програти більше ніж Для другої стратегії маємо: для третьої - а для четвертої - Отже, верхня ціна гри складе:
Гравцеві У доцільно вибрати також другу стратегію, яка є мінімаксної в грі. Оскільки то ця гра має сідлову точку. Ціна гри дорівнює 5. Оптимальною максиминной стратегією гравця А є друга з трьох можливих стратегій його дій. Для гравця В оптимальної є також друга з чотирьох можливих.
З наведеного прикладу зрозуміло, чому мінімаксна і Максиміна стратегії називаються песимістичними. Вибір оптимальної стратегії для кожного з гравців грунтується на припущенні, що він діятиме при найгірших для нього умовах. Зрозуміло, що в даному випадку вибір такої стратегії може не влаштовувати учасників гри. Нехай гравець А вибрав другу (Максимін) стратегію і дотримується її. Припустимо, що гравцеві В став відомий вибір стратегії супротивника, тоді йому доцільно вибрати третій стратегію, при якій виграш складе 7 одиниць. У свою чергу гравець А також знає про зміну стратегії гравця В на третій і вибирає перше стратегію, що дає йому можливість отримати виграш в сумі 8 одиниць і т.д. Можливість такого розвитку подій виникає, мінімаксна і максиминной стратегії в даному випадку не є стійкими. Є обставини, при яких обидва гравці використовують мінімаксне і Максимін стратегії, невигідні гравцям в тому випадку, коли один з них змінює свою оптимальну стратегію.
Однак така нестійкість властива не всім іграм з сідловою. У деяких випадках сідловій точці відповідають стійкі Максимін і мінімаксна стратегії. У такому випадку відхилення від оптимальної стратегії одним з гравців викликає таку з...
