Що стосується рекурсивно оновлюваних матриці P і вектора w, зазвичай вектор w приймається нульовим, а аналіз матриці Р показує, що після заповнення лінії затримки фільтра отсчетами сигналу результат не буде залежати від початкових умов, якщо
На практиці діагональ заповнюється великими позитивними числами, наприклад, 100 /? 2x.
У порівнянні з LMS-алгоритмом, алгоритм RLS вимагає значно більшого числа обчислювальних операцій (при оптимальній організації обчислень 2,5N2 + 4N пар операцій «множення-складання»). Під оптимальною організацією тут розуміється облік симетрії матриці P. Таким чином, число операцій в алгоритмі RLS квадратично зростає зі збільшенням порядку фільтра.
Зате алгоритм RLS сходиться значно швидше алгоритму LMS. Строго кажучи, він навіть не є алгоритмом послідовного наближення, оскільки на кожному кроці дає оптимальні коефіцієнти фільтра, відповідні формулою (21).
.5 Алгоритм RLS з експоненціальним забуванням
У формулах (18) і (20) значенням помилки на всіх тимчасових тактах надається однакову вагу. У результаті, якщо статистичні властивості вхідного сигналу з часом змінюються, це призведе до погіршення якості фільтрації. Щоб дати фільтру можливість відстежувати нестаціонарний вхідний сигнал, можна застосувати в (18) експоненціальне забування (exponential forgetting), при якому вага минулих значень сигналу помилки експоненціально зменшується:
де?- Коефіцієнт забування,
При використанні експоненціального забування формули (28) і (29) приймають такий вигляд:
3. Адаптивні фільтри в ідентифікації систем
Адаптивні фільтри в даний час знайшли застосування в багатьох радіотехнічних і телекомунікаційних системах обробки сигналів. Проте всі способи використання адаптивних фільтрів так чи інакше зводяться до вирішення задачі ідентифікації, тобто визначення характеристик деякої системи.
Можливі два варіанти ідентифікації - пряма і зворотна. У першому випадку адаптивний фільтр включається паралельно з досліджуваної системою (рис. 2, а).
а б
Рис.2 Ідентифікація систем за допомогою адаптивного фільтра:
а- пряма, б- зворотна.
Вхідний сигнал є загальним для досліджуваної системи і адаптивного фільтра, а вихідний сигнал системи служить для адаптивного фільтра зразковим сигналом. У процесі адаптації часові та частотні характеристики фільтра будуть прагнути до відповідних характеристик досліджуваної системи.
При зворотній ідентифікації адаптивний фільтр включається послідовно з досліджуваної системою (рис. 2, б). Вихідний сигнал системи надходить на вхід адаптивного фільтра, а вхідний сигнал системи є зразком для адаптивного фільтра. Таким чином, фільтр прагне компенсувати вплив системи і відновити вихідний сигнал, усунувши внесення системою спотворення.
4. Реалізація моделей адаптивних фільтрів
У даній роботі ми реалізуємо рішення задачі прямий ідентифікації системи згідно ріс.2.а за допомогою трьох алгоритмів - LMS, RLS і RLS з експоненціальним забуванням.
Вхідним сигналом служитиме дискретний білий гаусів шум, а сама система буде являти собою нерекурсивний фільтр 31-го порядку з імпульсною характеристикою у вигляді експоненціально затухаючої синусоїди, на період коливань якої припадає чотири відліку. Крім того, після обробки половини вхідного сигналу параметри системи стрибкоподібно зміняться - у її імпульсної характеристики поміняється знак. Це дозволить нам подивитися на те, як реагують алгоритми на різку зміну статистичних властивостей оброблюваного сигналу.
Текст програми, що реалізує алгоритми, див. у додатку 1.
Порівняння моделей
Отже, на рис.3 можна бачити, що на початковому етапі RLS-алгоритми показують набагато швидший перехід і меншу помилку в порівнянні з LMS-алгоритмом. Тепер розглянемо докладніше помилку від часу на початковому етапі (Рис.4.).
На рис.4 видно, що LMS і RLS алгоритми дають приблизно однакову помилку в сталому режимі, тоді як алгоритм RLS з експоненціальним забуванням помилки практично не дає.
Повернемося до рис.3 і звернемося до стрибкоподібної зміни характеристик системи. Тут ми бачимо, що LMS-алгоритм після деякого перехідного процесу звів помилку фільтрації до того ж рівня, який вона мала раніше, а от RLS так і не зміг пристосуватися до нових умов.
Рис.3. Результати ідентифікації системи за допомогою алгоритмів LMS (верхній рядок), RLS (середня рядок) і RLS з експоненціальним забуванням (нижня рядок): зліва - залежність помилки від часу, справа - підсумкові імпульсні характеристики фільтрів....
