ості розмірності.
.Провесті підсумовування матриць жорсткості елементів згідно з формулою.
Після формування глобальної матриці жорсткості необхідно визначити вектор вузлових сил з компонентами розмірністю. При цьому потрібно врахувати, що для деяких вузлових точок, в силу граничних умов, компоненти вузлових сил можуть бути шуканими величинами.
Вектор переміщень системи є рішенням задачі лінійної теорії пружності методом кінцевого елемента в тому випадку, якщо граничні умови ставляться в напружених. При змішаних граничних умовах або при заданих граничних переміщеннях необхідно перетворити систему, за аналогією із системою, згрупувавши невідомі завдання у векторі стовпці. У цьому випадку матриця жорсткості і стовпець вільних членів модифікуються таким чином:
.Известно компонента вектора вузлового переміщення, наприклад стоїть в -му рядку системи, множиться на коефіцієнт матриці жорстокості і переноситься з протилежним знаком в стовпець вільних членів для відповідних рівнянь. Одержуваний таким способом стовпець вільних членів позначимо через.
.Неізвестная компонента вектора вузловий сили в даному випадку займає -у позицію у векторі стовпці. У матриці жорсткості -ий стовпець обнуляється за винятком -ого елемента, де ставиться (- 1). Модифіковану матрицю жорсткості назвемо.
У підсумку рішення завдання зводиться до вирішення наступної системи рівнянь:
Після знаходження поля вузлових переміщень через функції форми визначаються компоненти лінійного тензора деформацій.
. 5 Помилки методу скінченних елементів
Поряд зі звичайними помилками округлення і похибкою наближених методів лінійної алгебри, застосовуваних у МКЕ, є і помилки, що мають безпосереднє відношення до методу кінцевих елементів:
помилки дискретизації, що є результатом відмінностей між дійсною геометрією розраховується області та її апроксимацією системою кінцевих елементів;
помилки апроксимації, обумовлені різницею між дійсним розподілом шуканих функцій в межах КЕ і їх поданням за допомогою апроксимуючих функцій.
Помилки дискретизації зменшуються зі збільшенням числа кінцевих елементів і відповідно із зменшенням їх розмірів, причому вони прагнуть до нуля, коли розмір елемента прагне до нуля. Ці помилки зменшуються і із застосуванням криволінійних елементів на відповідних межах області. Помилки апроксимації не обов'язково зменшуються в міру зменшення розмірів елементів або підвищення ступеня апроксимації, тому можуть погіршувати збіжність до точного рішення або навіть призводити до расходимости. Однак ці помилки можна звести до мінімуму, якщо при побудові апроксимуючих функцій забезпечити:
) безперервність шуканої функції і її похідних в області КЕ до ступеня m - 1 включно (m - найбільший порядок похідних шуканої функції, що використовуються в якості основних невідомих у ермітових елементах);
) виконання умов повноти, т. е. при зменшенні розмірів КЕ аппроксимирующие функції повинні забезпечити прагнення значень шуканої функції, а також її похідних до постійних значень;
) виконання умов спільності шуканої функції і частково її похідних на кордоні між суміжними елементами;
) наближене задоволення умов спільності не основних змінних (наприклад, напруг, якщо основні невідомі - переміщення) на кордонах КЕ, а також граничних умов у розглянутій області;
) виключення концентрації напружень в КЕ, якщо в розглянутій області такі концентрації свідомо відсутні;
) при переміщеннях КЕ як жорсткого цілого в ньому не повинні виникати деформації.
Вимога повноти апроксимуючих функцій необхідно для обліку зміщення КЕ як жорсткого цілого і забезпечення стану постійних деформацій в елементі. Механічний зміст спільності полягає в безперервності основних невідомих на суміжних кордонах сусідніх КЕ.
3. Результати розрахунків
. 1 Використання методу скінченних елементів для розв'язання задачі
Розглянемо зразок на рис. 1.2. Використовуючи уявлення, запишемо в наступному вигляді:
Розглянемо перший доданок лівої частини.
Нехай при кінцево-елементному розбитті межа з шаром FT представлена ??сукупністю k1 граней k1 кінцевих елементів:
де - довжина грані n-го кінцевого елемента, що лежить на сегменті FT з координатами і. Для грані аналогічно:
Другий доданок лівої частини (3.1) на n-ому елементі запишемо наступним чином:
Позначимо номера локальних вузлів, що лежать на межі F...
