хвилі лінійно наростає:
в гауссовий пучку залежність фази від z більш складна. Вважаючи в виразі (6), отримаємо
Таким чином, якщо в плоскій хвилі фазова швидкість постійна і дорівнює швидкості світла у вакуумі, то в гауссовий пучку фазова швидкість дорівнює
Легко бачити, що в периферичних частинах гауссова пучка фазова швидкість приблизно дорівнює швидкості світла у вакуумі, в центральній же частині пучка
фазова швидкість трохи більше з (рис. 1.3). Відповідно, в центральній частині гауссова пучка, на його осі відстань між горбами хвиль дещо більше.
Дамо ще одну важливу характеристику пучка - кут розходження випромінювання при. Його визначають як кут між асимптотами гіперболи (27)
Звернемося тепер до розгляду першої форми гауссова пучка (5). У ній через нерозділеності уявної і речової частин показника експоненти характеристики як амплітудного, так і фазового розподілів зосереджені в одному параметрі
(15)
який зазвичай називають комплексним параметром гауссова пучка.
Рис. 1.3. Фазова швидкість поля гауссова пучка в різних точках осі z
Хоча ми також будемо користуватися цим загальноприйнятим терміном, відзначимо, що він не дуже вдалий, оскільки параметр q залежить від z і характеризує не пучок в цілому, а лише деяке його перетин, правильніше було б говорити про комплексному параметрі того чи іншого перетину гауссова пучка. Радіус кривизни хвильового фронту R і параметр, пов'язаний з радіусом поперечного розподілу амплітуди поля гауссова пучка, можна, згідно (10) і (14), виразити через параметр q
(16)
і, отже,
(17)
де величини R, є функціями z, тобто характеризують певне поперечний переріз гауссова пучка із заданим z. Таким чином, один параметр q (правда, комплексний) замінює собою як характеристика того чи іншого перетину гауссова пучка два дійсних параметра, R і.
При переході від одного перерізу до другого параметр q змінюється, як це випливає з (15), за правилом
де l - відстань, що розділяє перетину 2 і 1. Можна вказати також інше, трохи більш складне, але набагато більш загальне правило перетворення q при переході від одного перерізу до іншого, а саме:
(18)
де коефіцієнти А, В, С і D утворюють так звану променеву матрицю
(19)
Співвідношення (18) висловлює собою широко використовується при розрахунку резонаторів правило (або закон) ABCD.
При поширенні гауссова пучка у вільному просторі перехід від одного перерізу до другого описується променевої матрицею
(20)
яка є окремим випадком матриці М і називається матрицею (або оператором) трансляції та яка відповідно до (18) призводить до правилу
.
Простота перетворення параметра q при різних трансформаціях гауссова пучка оптичними системами є основною причиною його введення в теорію. Як ми побачимо далі, на простих правилах перетворення гауссова пучка заснований метод розрахунку лазерних резонаторів - так званий матричний метод.
В даному випадку матриця (20) з'явилася безпосередньо з виразу для гауссова пучка (5). Надалі будуть знайдені й інші променеві матриці, що описують проходження гауссова пучка через різні оптичні елементи. Найбільш простий висновок променевих матриць дає геометрична оптика; тісний зв'язок променевих матриць з геометричною оптикою і породила їх назва.
2. Проходження Гауссова пучка через тонку лінзу
Перш ніж розглядати проходження Гауссова пучка через тонку лінзу, познайомимося з важливим поняттям квадратичного фазового коректора. Це поняття є узагальненням і ідеалізацією поняття тонкої лінзи, воно дозволяє з єдиної точки зору розглядати лінзи, сферичні дзеркала і деякі інші оптичні елементи.
Згадаймо, що падаюча на лінзу хвиля проходить в діелектрику, створюючому лінзу, поблизу осі більший оптичний шлях, ніж на краю, і, отже, хвиля в центрі лінзи має більший набіг фази, ніж на її краю. Беручи до уваги симетрію лінзи, неважко зрозуміти, що залежність набігу фази від відстані до осі лінзи повинна бути квадратичної. Ця властивість лінзи і лежить в основі визначення квадратичного фазового коректора. Квадратичним фазовим коректо...
